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Exercícios Resolvidos de Caso Explícito

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Exercício 912345678

Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 4ª Lista, Questão 3

03. Determine uma representação paramétrica para a superfície que corresponde à porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , situada acima do cone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos obter a equação paramétrica da superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 situada acima do cone dado por z = x 2 + y 2 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Pelo que foi dito no enunciado temos uma simetria esférica no problema, portanto podemos usar a parametrização por coordenadas esféricas que já conhecemos...

Nessa parametrização temos que substituir x por ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y por ρ sin ⁡ ϕ s in ⁡ θ e z por ρ cos ⁡ ϕ onde ρ é o raio da esfera, ϕ é o ângulo que os pontos da superfície fazem com o semieixo positivo de z e θ é o ângulo que os pontos da superfície fazem com o semieixo positivo de x ...

Lembra disso? 😉

Passo 2

Portanto, podemos escrever a equação paramétrica da superfície pelos dados que sabemos.

Como a equação da esfera é dada por x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 , podemos perceber que ρ 2 = 4 , ou seja ρ = 2 ...

Dessa forma a equação paramétrica é dada por

σ ϕ , θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 2 cos ⁡ ϕ

Porém precisamos obter os valores que ϕ e θ variam.

Na fronteira da superfície temos que a esfera e o cone tem o mesmo z , ou seja

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → z 2 = 4 - x 2 + y 2

z = 4 - x 2 + y 2

Igualando as curvas...

z = 4 - x 2 + y 2 = x 2 + y 2

4 - x 2 + y 2 = x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 2

Mas como x = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ e y = 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 = 2

4 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ = 2

Colocando 4 sin 2 ⁡ ϕ em evidência...

4 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 2

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , então

4 sin 2 ⁡ ϕ = 2

sin 2 ⁡ ϕ = 1 2

sin ⁡ ϕ = 1 2 = 1 2

ϕ = sin - 1 ⁡ 1 2

ϕ = π 4

Portanto vemos que ϕ vai variar de 0 a π 4 e θ de 0 a 2 π já que não há restrição em θ ...

Logo, a parametrização da superfície será dada por

σ ϕ , θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 2 cos ⁡ ϕ ,     0 ≤ ϕ < π 4 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

σ ϕ , θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 2 cos ⁡ ϕ ,     0 ≤ ϕ < π 4 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

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