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Exercícios Resolvidos de Caso Explícito

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Exercício 512346789

Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIA, Avaliações a Distância (AD) - AD1 - 2023.1, Questão 3

Considere a função

G x =   ∫ h x g x 3 1 + t 2 d t ,   x > 0 .

em que g x = 9 x e h x = 3 log 16 ⁡ x .

Obtenha uma expressão explícita para a função G ( x ) e use-a para calcular:

G 1 4 ,   G ' ( x ) e G ' 1 4 .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão precisaremos determinar G ( x ) através da resolução da integral:

G x =   ∫ h x g x 3 1 + t 2 d t

onde g x = 9 x e h x = 3 log 16 ⁡ x .

Após isso, iremos calcular G 1 4 ,   G ' x e G ' 1 4 .

Massa!

Então vamos lá, resolver essa integral partindo pras contas!!

Passo 2

Queremos resolver a integral:

G x =   ∫ h x g x 3 1 + t 2 d t

Podemos tirar a constante para fora da integral:

G x = 3 ⋅ ∫ h x g x 1 1 + t 2 d t

Se olharmos nossa querida tabelinha de integrais, vemos que a primitiva dessa função vale:

∫ 1 1 + t 2 d t = arctan ⁡ x + C

Logo, voltando para G ( x ) , temos:

G x = 3 ⋅ arctan ⁡ t h x g x

Substituindo os limites de integração com as funções dadas, vamos ter:

G x = 3 ⋅ arctan ⁡ 9 x - arctan ⁡ 3 log 16 ⁡ x

Perfeito! Essa é a expressão explícita de G x .

Agora podemos calcular G 1 4 usando essa expressão:

G 1 4 = 3 ⋅ arctan ⁡ 9 1 4 - arctan ⁡ 3 log 16 ⁡ 1 4

Como:

9 1 / 4 = 3

E:

log 16 ⁡ 1 4 = - 1 2

Temos:

G 1 4 = 3 ⋅ arctan ⁡ 3 - arctan ⁡ 3 - 1 2

= 3 ⋅ arctan ⁡ 3 - arctan ⁡ 3 3  

Daí, lembrando que:

arctan ⁡ 3 = π 3

arctan ⁡ 3 3 = π 6

Temos:

G 1 4 = 3 ⋅ π 3 - π 6

G 1 4 = 3 ⋅ π 6

Muito bom!

Passo 3

Agora devemos calcular G ' ( x ) e G ' 1 4 .

Vamos começar derivando G ( x ) :

G ' x = 3 ⋅ arctan ⁡ 9 x - arctan ⁡ 3 log 16 ⁡ x '

Podemos colocar a constante para fora e separar as derivadas:

G ' x = 3 ⋅ arctan ⁡ 9 x ' - 3 ⋅ arctan ⁡ 3 log 16 ⁡ x '

Nossa missão então é calcular essas derivadas. Para calculá-las precisaremos usar a regra da cadeia.

Assim:

Chamando:

 p x =  arctan ⁡ x g x = 9 x h x = 3 log 16 ⁡ x

Temos:

G ' x = 3 ⋅ p ' g x ⋅ g ' x - p ' h x ⋅ h ' x

Show!

Vamos começar pela derivada de p ( x ) .

p ' x = arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Já para g ( x ) , temos:

g ' x = 9 x '

Lembrando que:

a x ' = a x ⋅ ln ⁡ a

Temos:

g ' x = 9 x ⋅ ln ⁡ 9

Para a função h ( x ) precisaremos ter um cuidado extra, pois o expoente é uma outra função. Então teremos que aplicar a regra da cadeia aqui também. Teremos:

h ' x = 3 log 16 ⁡ x ⋅ ln ⁡ 3 ⋅ 1 x ⋅ ln ⁡ 16

= 3 log 16 ⁡ x ⋅ ln ⁡ 3 x ⋅ 4 ln ⁡ 2

Excelente! Agora que temos todos esses resultados, podemos juntá-los na expressão da derivada:

G ' x = 3 ⋅ p ' g x ⋅ g ' x - p ' h x ⋅ h ' x

Fazendo as substituições:

G ' x = 3 ⋅ 1 1 + 9 x 2 ⋅ 9 x ⋅ ln ⁡ 9 - 1 1 + 3 log 16 ⁡ x 2 ⋅ 3 log 16 ⁡ x ⋅ ln ⁡ 3 x ⋅ 4 ln ⁡ 2

Fazendo algumas manipulações:

G ' x =   3 ⋅ 9 x ⋅ ln ⁡ 9 1 + 9 2 x - 3 log 16 ⁡ x ⋅ ln ⁡ 3 1 + 3 log 16 ⁡ x 2 ⋅ 1 x ⋅ 4 ln ⁡ 2

Prontinho! Tá bem feio, mas é isso aí!

Pra finalizar, precisamos calcular G ' 1 4 . Vamos ter:

G ' 1 4 = 3 ⋅ 9 1 / 4 ⋅ ln ⁡ 9 1 + 9 2 ⋅ 1 4 - 3 log 16 ⁡ 1 4 ⋅ ln ⁡ 3 1 + 3 log 16 ⁡ 1 4 2 ⋅ 1 1 4 ⋅ 4 ln ⁡ 2  

= 3 ⋅ 3 ⋅ ln ⁡ 9 1 + 3 - 3 - 1 2 ⋅ ln ⁡ 3 1 + 3 - 1 ⋅ 1 ln ⁡ 2  

=   3 ⋅ 3 ⋅ 2 ln ⁡ 3 4 - 3 - 1 2 ⋅ ln ⁡ 3 4 3 ⋅ 1 ln ⁡ 2

Logo:

G ' 1 4 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ln ⁡ 3 4 - 3 ⋅ ln ⁡ 3 4 ⋅ 1 ln ⁡ 2

= 3 ⋅ 3 ⋅ ln ⁡ 3 4 ⋅ 2 - 1 ln ⁡ 2

⇒ G ' 1 4 = 3 ⋅ ln ⁡ 3 4 ⋅ ln ⁡ 2 ⋅ ( 2 ln ⁡ 2 - 1 )

Prontinhooo! Com isso finalizamos mais uma questão!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

G 1 4 = 3 ⋅ π 6 G ' x =   3 ⋅ 9 x ⋅ ln ⁡ 9 1 + 9 2 x - 3 log 16 ⁡ x ⋅ ln ⁡ 3 1 + 3 log 16 ⁡ x 2 ⋅ 1 x ⋅ 4 ln ⁡ 2 G ' 1 4 = 3 ⋅ ln ⁡ 3 4 ⋅ ln ⁡ 2 ⋅ ( 2 ln ⁡ 2 - 1 )

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