04. Determine uma representação paramétrica para a superfície que corresponde à porção do cilindro circular y^2 + z^2 = 16 , situada entre os planos x = 0 e x = 5 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a equação paramétrica da superfície do cilindro y 2 + z 2 = 16 situada entre os planos x = 0 e x = 5 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Pelo que foi dito no enunciado temos uma simetria cilíndrica no problema, portanto podemos usar a parametrização por coordenadas cilíndricas que já conhecemos...

Nessa parametrização temos que substituir y por r cos ⁡ θ e z por r sin ⁡ θ onde r é o raio do cilindro e θ é o ângulo que os pontos da superfície fazem com o semieixo positivo de y ...

Lembra disso? 😉

Passo 2

Portanto, podemos escrever a equação paramétrica da superfície pelos dados que sabemos.

Como a equação do cilindro é dada por y 2 + z 2 = r 2 , podemos perceber que r 2 = 16 , ou seja r = 4 ...

Dessa forma a equação paramétrica é dada por

σ x , r = x , 4 cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ θ

Porém precisamos obter os valores que θ varia.

Se esboçarmos o cilindro e os planos no espaço, temos que

Portanto vemos que θ varia de 0 a 2 π já que não h�� restrição em θ e x de 0 a 5 ...

Logo, a parametrização da superfície será dada por

σ x , r = x , 4 cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ θ ,     0 ≤ x ≤ 5 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

σ x , r = x , 4 cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ θ ,     0 ≤ x ≤ 5 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

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