USP, Álgebra Linear 2, P3-2018, Questão 08
08) Considere as matrizes e Sabendo que é uma matriz diagonal, é correto afirmar que a soma dos elementos na segunda coluna de é igual a
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Faaala galerinha, tudo certo com vocês?
Nessa questão temos um problema bem interessante sobre potência de matrizes, essa é uma das principais aplicações da teoria de diagonalização, autovetores e autovalores.
Aqui, basicamente, temos duas matrizes e , e é falado que o produto matricial resulta em uma matriz diagonal, que chamaremos de .
O objetivo do exercício é determinarmos a soma dos elementos da segunda coluna de
Beleza, entendemos o que a questão pede. Mas, vocês lembram como podemos calcular potência de matriz usando essa teoria de diagonalização?
Bom, se tivermos uma matriz B, diagonalizável, tal que:
Onde é a matriz dos autovetores e uma matriz diagonal dos autovalores, podemos afirmar que:
Massa! Essa vai ser a principal ideia desse exercício.
Passo 2
No enunciado é falado que:
Logo:
Daí, voltando à equação matricial e multiplicando em ambos os lados primeiro por e depois por , temos:
Lembrando que , logo:
Ou seja, conseguimos escrever como sendo o produto de uma matriz , que vai ser a matriz dos autovetores, e de uma matriz , diagonal, que vai ser a matriz dos autovalores.
Passo 3
Beleza, agora podemos calcular a potência de A. Lembrando que:
Assim, teremos que:
Como é diagonal, teremos simplesmente que:
Bora usar um pouco de números complexos pra finalizar esse item. Lembra que:
Logo, usando a potência de complexos, vem:
Analogamente, temos que:
Assim, voltando à matriz, vem que:
Agora bora ser esperto pra evitar conta...
Logo:
Olha que bonito! Portanto, a soma dos elementos da segunda coluna vale exatamente .
Prontinho! Espero que vocês tenham gostado. Até a próxima gente 😉
Resposta
Letra A: .