UFRJ, P4-2019.2
Seja uma matriz e sejam e seus autovalores. A dimensão do núcleo de é:
Passo 1
Belezoca galerinha, esse exercício é pura sagacidade, saca só, ele nos deu os autovetores de , e nos perguntou a dimensão do núcleo de :
A primeira malandragem que a gente precisa lembrar é que a dimensão do núcleo de é igual a dimensão do núcleo de , dado que é é uma matriz quadrada:
Passo 2
Belezoca, então se a gente descobrir a dimensão do núcleo de , vamos descobrir também a dimensão do núcleo de . As informações que enunciado nos deu, é que os autovalores de são e , e é ai que começa a malandragem. Porque nossa matriz é , e temos autovalores, isso quer dizer que cada autovalor tem apenas autovetor associado a ele.
Irado, e todo vetor pertencente ao núcleo da matriz é dado como:
Ou melhor:
Ou seja, todo vetor que pertence ao núcleo da matriz sempre vai ser um autovetor associado ao autovalor . Belezoca, então se os vetores do núcleo são aqueles associados a , quer dizer que temos apenas autovetor associado ao autovalor e em consequência disso, temos apenas vetor no núcleo de :
Portanto:
Resposta certa, letra (c).
Resposta
Letra (c)