Determine a decomposição espectral de se:
uma projeção ortogonal no plano
uma projeção ortogonal em
Obs.: Não precisa calcular as inversas.
Passo 1
Bom a decomposição espectral é simplesmente escrever uma matriz na forma . Para isso, temos que achar os autovalores e autovetores da .
Uma projeção ortogonal possui autovalores e . O autovalor estará associado aos autovalores que fazem parte do plano em que estamos projetando. Os vetores do plano tem essa cara:
Logo, temos os autovetores e associados ao autovalor .
Quando ao autovetor associado ao autovalor , será o vetor gerador da reta ortogonal ao plano. Este tem suas coordenadas dadas pelos coeficientes da equação do plano:
Logo, é autovetor associado ao autovalor .
Passo 2
Agora vamos montar as matrizes:
E a decomposição espectral é:
Passo 3
Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores.
Uma projeção possui autovalores e . Como estamos projetando no plano gerado pelos vetores e , eles serão autovetores associados ao autovalor .
Já o autoespaço associado ao autovalor será o plano ortogonal à esse plano (lembre-se que estamos no . Para gerar esse plano precisamos de dois vetores que sejam ortogonais a e a . Chamando esse vetor que queremos achar de , temos:
Fazendo :
Substituindo em :
Logo, os vetores desse plano são desse tipo:
Então temos os autovetores e associados ao autovalor .
Passo 4
Agora vamos montar nossas matrizes:
Então a decomposição espectral fica:
Resposta