UFRJ, P2-2019.2
Seja a reflexão através de uma reta que passa pela origem.
Considere as afirmativas:
- Os autovalores de são e .
- Existem dois autovetores e de tais que é linearmente independente.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
Passo 1
Tudo tranks então meus amores, o enunciado definiu pra gente a transformação como uma reflexão que passa pela origem. E sabendo disso, vamos analisar as afirmativas que ele traz pra gente. Na primeira, ele diz que, os autovalores de são e .
Hmmm, isso parece um pouco suspeito. Uma reflexão, é uma transformação injetiva, e transformações injetivas tem a propriedade da dimensão do núcleo ser igual a , MAAAAASSS, quando uma transformação tem o autovalor , a dimensão do núcleo é diferente de , fazendo isso tudo se tornar uma inconsistência. Portanto, a afirmativa (I), é falsa.
Passo 2
Agora na letra (b), ele diz pra gente que existem dois autovetores e de tais que é linearmente independente.
E ora bolas, a reflexão em relação a uma reta, pega um vetor da reta e deixa na própria reta, e pega o vetor ortogonal a essa reta, e leva na sua reflexão. Dessa forma, a reta, e o seus vetores ortogonais serão os autovetores na reflexão, e como eles são ortogonais, também serão linearmente independentes. E dessa forma a afirmativa (II) é verdadeira.
Resposta
Letra d.