UFRJ, P3-2019.2
A matriz possui autovetores e associados aos autovalores e , respectivamente.
Considere as afirmativas:
- Estas informações determinam a 2º colunas de .
- Estas informações determinam a coluna de .
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
Passo 1
Belezera meus amores, o enunciado nos deu os autovetores e e quer saber se essas informações são suficientes para determinar a 2º e/ou a 1º coluna da atriz .
Mas calma lá meu patrão, porque se a gente quer determinar uma coluna da matriz podemos multiplicar ela pelos vetores canônicos, por exemplo se a gente quiser descobrir a primeira coluna, multiplicamos a matriz por , mas se a gente quiser encontrar a segunda coluna, multiplicamos por e assim funciona de acordo com cada coluna que a gente vai estar interessado em descobrir.
E a maior sagacidade de todas nisso tudo é que o produto matriz-vetor é LINEAR, ou seja, dado dois vetores e , temos:
Se a gente multiplicar os vetores por constantes quaisquer e , temos que:
Passo 2
Tá, mas pera lá chefe, isso é interessante pra gente porque pensa aqui comigo, a gente sabe que e são autovetores associados a e respectivamente, isso quer dizer que:
Então saca só, se por exemplo a gente usar a relação linear com os autovetores, onde e vamos obter:
Colocando o em evidência, temos que:
Só que a gente viu no Passo 1, que por pura coincidência do universo, quando multiplicamos a matriz por vetores canônicos, como determinamos colunas da matriz, nesse caso descobrimos a coluna:
Logo a afirmativa (I) é verdadeiran.
Passo 3
Iradosoo, agora queremos verificar se é possível determinar a primeira coluna. Lembra que no Passo 1, vimos que a linearidade do produto matriz-vetor garante que:
Então se a gente usar os autovetores como e e conseguir descobrir um e um tal que:
Conseguiremos então descobrir a primeira coluna da matriz . Logo o sistema que queremos encontrar a solução é:
Se a gente pegar a primeira linha, temos que:
Show, maaass se a gene pegar a última linha, temos que:
Ou seja, duas respostas diferentes, para equações iguais, isso indica que nosso sistema não possui solução, e se o sistema não possui solução, é impossível usar apenas das informações que temos para descobrir e em consequência a primeira coluna. Portanto a afirmativa (II) é falsa! Resposta certa, letra (b)
Resposta
Letra (b)