Encontre a matriz que produz as transformações abaixo:
Uma reflexão em torno da reta no
Uma projeção na reta gerada pelo vetor
Uma projeção no plano no
Passo 1
Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores que queremos e então construímos a matriz usando a fórmula .
Uma reflexão possui autovalores e . Como estamos refletindo em torno da reta cuja equação é , o autovetor associado ao autovalor será um vetor gerador da reta.
Os vetores dessa reta são da forma:
Logo, temos o autovetor associado ao autovalor .
Já o autovetor associado ao autovalor é algum vetor perpendicular à . Vamos usar o .
Passo 2
Agora vamos montar nossas matrizes pra jogar na fórmula:
Então nossa matriz é:
Passo 3
Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores que são pedidos.
Uma projeção possui autovalores e . Como estamos projetando na reta gerada por , ele será um autovetor associado ao autovalor .
Já o autoespaço associado ao autovalor será o plano ortogonal à reta. Para gerar esse plano precisamos de dois vetores que sejam ortogonais a .
Então podemos usar os vetores e como autovetores associados ao autovalor .
Como os vetores são ortogonais entre si, vamos normalizá-los pra facilitar a inversão:
Passo 4
Agora vamos montar nossas matrizes pra jogar na fórmula:
Então nossa matriz é:
Passo 5
De novo, vamos achar os autovalores e autovetores que fazer o que e enunciado está pedindo.
Como é uma projeção temos os autovalores e . Estamos refletindo em torno do plano abaixo:
Então os vetores desse plano tem essa cara:
Chegamos então aos autovetores e associados ao autovalor .
Agora os vetores que geram o plano ortogonal (lembre-se que estamos no ) podem ser dados pela equação do plano:
Então temos os autovetores e associados ao autovalor .
Passo 6
Agora vamos ajeitar esses valores nas matrizes:
Agora precisamos achar a inversa de :
Ufa! Finalmente encontramos nossa matriz inversa:
Agora é só fazer o produto:
Resposta