UFES, Álgebra Linear, P3 Tarde, 2017.2 - Questão 1
A matriz é simétrica, é um autovalor de com multiplicidade 2 e
Determine uma decomposição espectral dessa matriz
Passo 1
Vamos lá pessoal! Vai dar certo!
Temos uma matriz que sabemos algumas coisas sobre ela:
- Ela é simétrica
- Ela tem um autovalor que tem multiplicidade 2
-
E aí queremos uma decomposição espectral dessa matriz, que é basicamente escrever a matriz assim:
Onde é uma matriz onde as colunas são os autovetores de e é uma matriz diagonal onde a diagonal é formada pelos autovalores de
Caalma, tem algumas informações que vão ajudar a gente haahaha
- Se o autovalor tem multiplicidade 2, o valor vai aparecer 2 vezes na matriz diagonal
- Se , sabemos que é um autovalor e é um autovetor associado ao autovalor 1. Além disso, concluímos que a matriz é uma matriz 3x3, então já temos todos os autovalores que precisamos para a matriz : (com multiplicidade 2) e
- Quando uma matriz é simétrica, os autovetores associados a autovalores diferentes vão ser ortogonais, ou seja, o produto interno entre eles vai ser 0. Logo, o autovetor vai ser ortogonal aos autovetores associados ao autovalor 3 ok?
Agora ficou toppp de continuarmos, bora!
Passo 2
Queremos escrever a matriz nesse formato:
A matriz vai ser formada pelos autovalores de , que já sabemos que são e . Então:
Belezinha. Mas a matriz é formada pelos autovetores associados ao autovalor e ao autovalor :
Já sabemos que é um autovetor associado ao autovalor 1, pois , então:
(lembrando que como colocamos o por último na matriz , precisamos colocar seu autovetor por último na matriz , sempre tem que estar na ordem ok?)
Para encontrarmos os autovetores associados ao autovalor , vamos lembrar que eles devem ser ortogonais ao vetor , porque a matriz é simétrica 😉 então vamos usar isso
Passo 3
Seja um autovetor associado ao autovalor 3. Sabemos que ele tem que ser ortogonal a , ou seja
Então
Logo, um vetor que é autovetor de pode ser escrito assim
Então:
Opa! Encontramos 2 autovetores, que é exatamente o que precisávamos!!!
Então, temos dois autovetores associados ao autovalor :
(lembrando que qualquer vetor múltiplo desses também pode ser considerado autovetor ok?)
E repara que de fato os 2 são ortogonais ao autovetor associado a 😊
Passo 4
Então, colocando os autovetores associados a na matriz , temos
Portanto, a decomposição espectral de vai ser
Sucessooooo