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Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

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Exercício 612345789101112

Enunciado

A2 T21 A5 T3 T6 T8

Obtenha, por composição, a matriz associada a uma reflexão pelo eixo y = - x na base canônica α do R 2 .

Dica: Numa base β , onde o eixo de reflexão é um dos eixos coordenados, a transformação leva um vetor v → β = x y à sua imagem T v → β = x - y , se o eixo for horizontal (ou, alternativamente, à imagem - x y , se o eixo for vertical). Note também que esta base pode ser obtida a partir da base canônica por rotação.

Passo 1

Sabemos que a reflexão pelo eixo y = - x tem como autovetores um vetor da reta y = - x e um vetor da reta ortogonal y = x , que estão associados, respectivamente, aos autovalores 1 e - 1 . Logo, se escrevermos a matriz reflexão em sua forma diagonal, teremos que:

T α α = P D P - 1

Uma base possível de autovetores é

1,1 , - 1,1

Dessa forma temos:

T α α = 1 - 1 1 1 - 1 0 0 1 1 - 1 1 1 - 1

Calculando a inversa de P :

P - 1 = 1 - 1 1 1 - 1 = 1 det ⁡ P 1 1 - 1 1 = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

Substituindo:

T α α = 1 - 1 1 1 - 1 0 0 1 1 2 1 2 - 1 2 1 2

T α α = - 1 - 1 - 1 1 1 2 1 2 - 1 2 1 2

T α α = 0 - 1 - 1 0

Resposta

T α α = 0 - 1 - 1 0