A2 T15 A5 T8
Determine a transformação linear tal que e são vetores do e é autovetor associado ao autovalor .
Passo 1
Bom primeiramente, temos que:
É uma base do . Os vetores associados ao núcleo (autovalor ) não estão na mesma reta, e como é autovetor associado ao autovalor , isso nos garante que ele é em relação aos outros . Repare então que temos uma base de autovetores e, portanto, a matriz que representa na base canônica é diagonalizável! Temos que:
Resolvendo esse produto, você encontra a matriz de e daí é mole achar . Vamos encontrar a inversa:
Repare que agora só vamos fazer operações pra cima, então a última linha da matriz inversa já está pronta. Tá, e aí? E aí que é só dela que precisamos! Se liga:
Pronto! Então:
Passo 2
Outra maneira seria usando aquele método clássico. Temos a aplicada numa base do domínio:
Como qualquer vetor do pode ser escrito em dunção dessa base:
Encontrando os coeficientes em função de , e :
Fazendo :
Fazendo :
Repare que nesse caso só estamos interessados no , já que os outros vão zerar:
Resposta