USP, Mecânica, P2-2017, Questão 03
03) Sabendo que um ponto se move de acordo com a equação
Pede-se determinar, para o instante t=1s:
a) a expressão intrínseca da velocidade de
b) os versores do triedro de Frenet (tangente, normal e binormal)
Passo 1
Faaala galera, tudo certo com vocês?
Temos aqui uma questão bem direta envolvendo o triedro de Frenet. Basicamente, é dado o vetor posição de um ponto que está se movimentando, e devemos analisar a velocidade e outras grandezas quando .
a) Pra começar, devemos determinar a expressão intrínseca da velocidade de quando .
Mas, antes de tudo, o que é essa tal de expressão intrínseca da velocidade?
Bem resumidamente, é a expressão da velocidade em função do vetor tangente de Frenet, . Lembra que:
Daí, só isolando , temos:
Aqui, temos . Então, a expressão intrínseca é simplesmente:
Show! Agora que sacamos essa ideia, bora usar o vetor posição pra calcular a velocidade em coordenadas cartesianas. Sabemos que:
Logo:
Fazendo , vem:
Daí, tirando o módulo temos:
Prontinho. Agora é só finalizar:
Aeee, conseguimos. Boa galera!
Passo 2
b) Agora devemos determinar, para , os versores do triedro de frenet e
Bora começar pelo vetor tangente. Como vimos antes:
Daí:
Substituindo os dados que encontramos no item a), temos:
Fooi!!
Vamos para o vetor binormal . Sabemos que:
Já sabemos que:
Pra calcular podemos usar novamente a relação cinemática:
Assim:
Assim, para , temos:
Top! Então bora substituir pra calcular o vetor binormal de frenet:
A melhor forma de fazer esse produto vetorial sem se confundir, é usando uma matriz. Daí:
Como o enunciado nos pede o versor binormal, temos:
Agora simmm! Bouaaa!
Passo 3
Falta só um, o versor normal . Sabemos que:
Como queremos em , devemos fazer:
Vamo usar de novo o truque da matriz:
Como queremos o versor normal, devemos dividir pelo módulo. Daí:
Muita conta né? Vamos com cuidado pra não errar nada!
Portanto, finalmente chegamos que:
Prontinho, galera! Ficou feinho, mas é isso mesmo 😊
Espero que vocês tenham entendido bem!
Resposta
a)
b)