Uma barra de aço uniforme de seção transversal com área é ligada a suportes rígidos e está livre de tensões a uma temperatura de . O aço é considerado elastoplástico com e . Sabendo que , determine a tensão na barra quando a temperatura for elevada a e depois que a temperatura retorna a .
Passo 1
A barra tem uma área de seção transversal e um comprimento .
A uma temperatura inicial , a barra está livre de tensões.
E ela é feita de um aço elastoplástico com resistência ao escoamento , módulo de elasticidade e coeficiente de dilatação térmica .
Beleza, e o que é que está acontecendo?
No item a temperatura na barra é elevada até uma temperatura final , sofrendo então uma variação de temperatura:
Por causa dessa variação de temperatura, a barra vai sofrer uma deformação térmica :
(Como o comprimento da nossa barra é desconhecido, é mais prático trabalhar com do que trabalhar com a dilatação térmica .)
Agora, essa barra é ligada a suportes rígidos dos dois lados que não permitem com que a barra se deforme livremente.
Esses suportes rígidos requerem que a deformação total da barra seja igual à zero:
Para fazer com que isso aconteça, eles realizam forças de reação na barra:
Essas forças compressivas geram na barra:
- Uma força interna normal ;
- Uma tensão normal média ;
- E, de acordo com a Lei de Hooke (), uma .
Daí que pelo princípio da superposição, a deformação total na barra vai ser a soma da deformação térmica com a deformação causada pelas forças :
Daí que podemos usar essa fórmula acima para encontrar qual vai ser o valor da tensão normal média que vai surgir na nossa barra.
Mas calma aí...
O nosso material é elastoplástico. Então a tensão máxima que pode ser alcançada nele é a tensão de escoamento .
Daí que se encontrarmos que a tensão normal média que deveria surgir na nossa barra é maior que , na realidade o que vai acontecer é que:
1. A tensão que vai surgir vai ser a tensão máxima ;
2. O material vai começar a escoar/a se deformar plasticamente;
E assim, 3. A deformação causada pelas forças vai passar a ser a soma:
- De uma deformação elástica (correspondente à tensão máxima de acordo com a Lei de Hooke);
- Com uma deformação plástica .
Dessa forma, a variação de comprimento total vai ser escrita assim:
E o que é que o exercício quer?
No item , ele quer saber qual vai ser a tensão gerada na barra.
Devemos calcular essa tensão usando a relação .
Mas se o valor final encontrado for maior que , a tensão gerada vai ser .
E nesse caso, vamos poder calcular também a deformação plástica sofrida pela barra.
O que é interessante porque...
No item , ele quer saber qual vai ser a tensão na barra quando a temperatura voltar para .
A princípio, essa tensão seria nula. Mas se o material tiver sofrido uma deformação plástica , essa deformação vai ter sido permanente.
Dessa forma, os suportes rígidos da barra vão ter que realizar forças na barra para gerar nela:
- Uma tensão normal ;
- E, de acordo com a Lei de Hooke, uma deformação .
- ;
- ;
- & ,
- ;
- ;
- & ,
- O valor da variação de comprimento total , que deve ser igual à ;
- A fórmula da deformação térmica ;
- & a deformação elástica de acordo com a Lei de Hooke, tendo em mente que a tensão efetivamente gerada na barra é ,
- Uma tensão normal ;
- E, de acordo com a Lei de Hooke, uma deformação .
Essa deformação , superposta com a deformação permanente , vai conseguir garantir com que a deformação total da barra continue nula:
Passo 2
É muita coisa, mas vamos lá, a gente consegue! 👊
Primeiro, vamos calcular a tensão na barra quando a temperatura é elevada usando a relação:
Substituindo:
Isso fica assim:
Isolando , encontramos:
Finalmente, substituindo os valores...
...encontramos que:
Mas esse valor é impossível pois ele ultrapassa a intensidade da tensão de escoamento .
Então temos que a nossa resposta para o item , a tensão que vai ser efetivamente gerada na barra vai ser:
Passo 3
Em seguida, vamos definir a deformação plástica sofrida pela barra.
Para tanto, aplicamos a relação:
Substituindo:
A relação acima fica assim:
Isolando a deformação plástica , temos:
Não precisamos calcular a deformação plástica em si, então vamos só guardar essa expressão.
Passo 4
Agora, na situação do item , vamos ter deformação plástica , que por ser permanente, permaneceu mesmo após a volta da temperatura para .
Por causa disso, os suportes rígidos da barra vão ter que realizar forças na barra para gerar nela:
Dessa forma, a deformação total na barra vai ser:
Substituindo:
- ;
- A expressão encontrada para ;
- & ,
Isso fica assim:
Queremos encontrar a tensão nessa nova situação, então devemos isolá-la:
Simplificando tudo, isso fica assim:
Por fim, substituindo os valores...
- ;
- ;
- ;
- & ,
...encontramos que:
Que é a nossa resposta do item !