P2, 2018.1, Questão 2
Considere os planos . Qual das seguintes equações representa um plano que é simultaneamente ortogonal a ?
Passo 1
Falaaaa, beleza??? Vamos começar essa questãozinha envolvendo planos e ortogonalidade.
Para começar vamos lembrar que quando pensamos em ortogonalidade entre planos pensamos em perpendicularidade (“ângulos de 90º entre os planos”).
Uma das principais informações que podemos tirar da equação de um plano é o vetor normal a ele, ou seja, o vetor perpendicular. Vamos lembrar como tirar essa informação??
Se temos um plano qualquer do tipo:
Nós dizemos que o vetor é perpendicular ao plano.
Passo 2
Bom, sabendo isso, podemos achar os vetores normais aos planos .
Ou ainda:
Ou seja, sabemos que o vetor é normal ao plano.
Seguindo o mesmo raciocínio para o :
Ou ainda:
Logo, concluímos que é normal ao plano.
Passo 3
Agora temos que ter uma interpretação geométrica do que está rolando e do que precisamos.
Já vimos que uma equação do plano é basicamente dada pelo vetor normal. Então, como na questão é pedido um plano, é justo pensarmos em achar um vetor normal a esse novo plano .
Sabemos que é perpendicular aos planos . Ou seja, o vetor perpendicular ao plano , que iremos chamar de é paralelo à e consequentemente perpendicular a .
Passo 4
Agora que sabemos isso, conseguimos achar esse tal de , pois ele é um vetor perpendicular a simultaneamente.
Para isso, usaremos o conceito de produto vetorial, uma vez que o produto vetorial entre dois vetores não paralelos nos dará um vetor perpendicular a esses dois. Então bora lá:
Para calcular esse determinante existem diversas formas, aqui iremos fazer por LaPlace.
Ou seja , então o plano é da forma
Nesse caso, existem infinitos planos dessa forma (basta variar d)!
Para acharmos um d de fato a questão deveria nos dar mais informações (como um ponto do plano), porém como possui opções conseguimos achar a certa. Veja que a letra A é a única que se encaixa na equação que achamos.
Resposta
Letra (A) :