- Encontre a distância do plano e o ponto
- Encontre a distância perpendicular entre os planos (paralelos): e
- Verifique que a reta e é paralela ao plano e encontre a distância perpendicular entre eles.
Passo 1
Esse exercício mescla o cálculo de várias distâncias. O item nós já fizemos na questão anterior, mas nunca é demais treinar ainda mais quando essa é uma questão que envolve a decoreba de uma fórmula!! ;). O item é a distância entre dois planos. E para terminar, o item a distância entre reta e plano.
Passo 2
- Devemos encontrar a distância entre o plano e o ponto . Sabemos que para calcular essa distância temos a fórmula:
- Nesse item temos a equação geral de dois planos e queremos calcular a distância entre eles. Porque o enunciado falou em distância perpendicular? É só para enfatizar que a distância que devemos calcular é a menor distância entre os planos!
- Para finalizar, último item!! Nesse item devemos primeiro verificar que a reta e o plano que nos são dados são paralelos.
No nosso caso e . Colocando os valores na fórmula e calculando, temos:
Chegamos na distância em que queríamos:
Passo 3
O enunciado nos dá uma informação preciosa: de que os planos são paralelos, ou seja, possuem uma distância entre si!! Então, se eles são paralelos e para calcular a distância entre eles vamos escolher um ponto de um dos planos e calcular a distância de ponto a plano ;).
Temos as seguintes equações gerais:
Vamos pegar um ponto da equação . Sabemos que e são coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Assim, se chutarmos que e , quanto vale Vamos jogar na expressão os valores de e para descobrir:
Portanto, temos o ponto . Lembrando, que poderíamos escolher qualquer outro ponto desde que satisfizesse a equação do plano.
Agora, só falta calcular pela fórmula a distancia do ponto ao outro plano. Colocando os valores na fórmula, temos:
Já estamos craques em calcular a distância entre ponto e plano ;)
Passo 4
Bom, para verificarmos o paralelismo como vimos no tópico “Posições Relativas de Retas e Planos” se temos o vetor diretor da reta e a equação geral do plano com vetor normal , basta verificarmos se:
E então testar um ponto para verificar se são paralelos ou se a reta está contida no plano.
Vamos retirar da expressões que temos as informações:
Assim,
Já verificamos que só falta verificar que um ponto qualquer da reta não pertence ao plano. Pegando o ponto que pertence á reta e substituindo na equação geral do plano:
Portanto, a reta está contida no plano, ou seja, a distância entre eles é ZERO.