Exercícios Resolvidos de Distâncias entre Pontos

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Enunciado

Considere a reta r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   1 ) e os pontos A = ( 1 ,   1 ,   1 ) e B = ( 0 ,   0 ,   1 ) . Determine um ponto P sobre r que é equidistante de A e B .

Passo 1

P pertence à reta r , então ele pode ser escrito dessa forma generalizada (de acordo com a equação de r ):

P = ( 1 + λ ,   λ ,   λ )

A distância de P até A é

d P ,   A = 1 + λ - 1 2 + λ - 1 2 + λ - 1 2

Enquanto a distância de P até B é

d P ,   B = 1 + λ 2 + λ 2 + λ - 1 2

Passo 2

Queremos que o ponto P tenha a mesma distância até A e até B , então vamos igualar as distâncias fechou?

d P ,   A = d P ,   B

λ 2 + λ - 1 2 + λ - 1 2 = 1 + λ 2 + λ 2 + λ - 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

λ 2 + λ - 1 2 + λ - 1 2 = 1 + λ 2 + λ 2 + λ - 1 2

Opaa, temos termos iguais dos dois lados que podemos cortar, então ficamos com isso aqui:

λ - 1 2 = 1 + λ 2

Abrindo os quadrados:

λ 2 - 2 λ + 1 = 1 + 2 λ + λ ²

Então temos

4 λ = 0

λ = 0

Substituindo λ no ponto P :

P = ( 1 ,   0 ,   0 )

Resposta

P = ( 1 ,   0 ,   0 )

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