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Exercícios Resolvidos de Distâncias entre Pontos

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Exercício 612345789

Enunciado

Determinar, no eixo das coordenadas, um ponto equidistante de A = ( 1 ,   1 ,   4 ) e B = ( - 6 ,   6 ,   4 ) .

Passo 1

Beleza, galera!

Precisamos achar um ponto qualquer C = ( x ,   y ,   z ) , sendo que d A ,   C = d ( B , C ) , já que C precisa ser equidistante de A e B .

Passo 2

Mais uma vez usaremos a formulinha de distância entre pontos que você já deve estar careca de saber!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Vamos calcular a d ( A ,   C ) , sendo A = 1 ,   1 ,   4 e C = x ,   y ,   z , colocando os valores na fórmula:

d A , C = 1 - x 2 + 1 - y 2 + ( 4 - z ) 2

Vamos deixar assim por enquanto!

Passo 3

Agora a d ( B ,   C ) , sendo B = - 6 ,   6 ,   4 e C = ( x , y ,   z ) , colocando os valores na fórmula:

d B ,   C = ( - 6 - x ) 2 + ( 6 - y ) 2 + ( 4 - z ) 2

Agora só falta igualar as fórmulas, já que d A ,   C = d ( B ,   C )

Passo 4

Igualando as fórmulas:

1 - x 2 + 1 - y 2 + ( 4 - z ) 2 = ( - 6 - x ) 2 + ( 6 - y ) 2 + ( 4 - z ) 2

Elevando os dois lados ao quadrado,

1 - x 2 + 1 - y 2 + ( 4 - z ) 2 = ( - 6 - x ) 2 + ( 6 - y ) 2 + ( 4 - z ) 2

Abrindo os produtos

18 - 2 x + x 2 - 2 y + y 2 - 8 z + z 2 = 88 + 12 x + x 2 - 12 y + y 2 - 8 z + z 2

18 - 2 x - 2 y = 88 + 12 x - 12 y

14 x - 10 y = - 70

Dividindo os dois lados por 2

7 x - 5 y = - 35

O ponto que procuramos precisa satisfazer a relação acima e como não possuímos especificação para z , ele poderá ser qualquer valor!

Logo, posso escolher x = 0 . Com isso:

7 × 0 - 5 y = - 3 5

y = 7

Para z posso escolher qualquer valor! Vou fazer z = 3

Então C = ( 0 ,   7 ,   3 ) !

Lembrando que você pode escolher qualquer valor para z e x e y precisam satisfazer a equação 7 x - 5 y = - 3 5 .

Passo 5

Por fim, vamos substituir o “meu” ponto C na equação da distância entre pontos e ver se bate!

d A , C = 1 - 0 2 + 1 - 7 2 + ( 4 - 3 ) 2 = 38

d B ,   C = ( - 6 - 0 ) 2 + ( 6 - 7 ) 2 + ( 4 - 3 ) 2 = 38

Bateuuu!! Showw de bolinhas!

Resposta

Qualquer ponto tal que a relação 7 x - 5 y = - 35 seja verdadeira.

A coordenada referente a z pode assumir qualquer valor.

Exemplos de possíveis respostas são: C = ( 0 ,   7 ,   3 ) , C = ( 0,7 , 0 ) .

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