Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Bem bem, temos uma derivada ao quadrado ali meio bizarra, a parada não parece estar amigável, como proceder? Vou começar dividindo tudo por por que da pra ver que tem um extra ae sobrando nessa EDO:
Ok, acho que melhorou um pouco a cara, vamos pensar no seguinte, com essa cara de EDO a gente não consegue desenvolver nada do que trabalhamos, então precisamos procurar uma saída. Perceba que essa EDO não mostra qual é a variável independente, ou seja, se depende de , ou de , “tá, legal, idaí?” A ideia é, como esse cara não tem a variável independente explicitada, eu vou fazer uma substituição que faça o próprio virar a variável independente(WTF?!) Calma, vamos ver isso agora:
Sabemos que ou seja, é uma função que depende de , logo também! A derivada também depende de e assim também depende de , pela regra da cadeia temos que:
Substituindo isso na edo:
Divindo tudo por :
Sacou? Antes era que era a variável dependente, agora é ! Essa sacada é legal e pode ser útil em equações que tem característica de não ter a variável independente explicitada.
Passo 2
Agora só temos que resolver uma EDO de primeira ordem linear, vamos começar divindo tudo por :
Agora calculamos a integral:
OBS: Ele já supôs na questão que
Agora calculamos
Assim a solução é:
Mas calma, a gente não começou calculando , a gente quer saber quem é , então vamos voltar a substituição :
Esse cara é uma EDO separável!
Passo 3
Vamos separar esse rapazola:
Integrando de ambos lados:
Resolvando cara integral:
Como o numerador e o denominador tem o mesmo grau do polinômio, a gente pode fazer uma divisão polinomial pra isso ficar menor(Se não lembrar, da uma olhada em integral por frações parcias em cálculo 1 que você vai lembrar rapidão!). Ae dá:
Então fica:
A outra integral é:
Assim a solução da separável e consequentemente da EDO é: