Unicamp, Cálculo 3, 2019.2, P1, Questão 1.
Use a substituição para encontrar a solução da e.d.o:
Passo 1
Então pessoal, nessa questão o enunciado já disse como ele quer que a gente resolva, então vamos direto ao ponto.
O primeiro passo é substituir o naquela expressão:
Falta substituir aquele ali:
Então:
Passo 2
Beleza, já melhorou bastante, mas ainda falta tirar aquele do lado esquerdo. Um jeito de fazer isso é derivando a nossa fórmula de substituição em relação a :
A derivada de em relação a é , e a derivada da constante é zero:
Então:
Agora é só jogar isso na fórmula:
Somando dos dois lados:
E agora reescrevendo :
Ótimo, chegamos em uma e.d.o. separável! Agora a gente pode resolver pra encontrar uma função .
Passo 3
O primeiro passo é separar as variáveis: uma pra cada lado.
E agora temos que integrar dos dois lados:
Começamos resolvendo a integral do lado esquerdo.
Multiplicando os dois lados por :
E agora, a função no numerador é exatamente a derivada da função no denominador: a integral é um logaritmo!
E então:
Agora vamos juntar as constantes em uma nova:
E a fração que multiplica o logaritmo pode virar um expoente:
E finalmente, tirando a exponencial dos dois lados:
Estamos quase lá, vamos isolar o . Elevando os dois lados ao quadrado:
E vamos trocar , só pra simplificar:
Agora sim!
Passo 4
Beleza, já achamos . Mas o que a gente quer mesmo é encontrar . Vamos substituir na fórmula lá de cima:
Subtituindo :
É isso! Então nossa resposta final é: a e.d.o. tem duas soluções:
Pronto!
Resposta
As soluções da e.d.o. são: e .