Calculo 3 – UNICAMP – P1
Resolva a seguinte e.d.o por redução de ordem com a substituição :
Passo 1
Vamos a nossa questão! Ela é bem curtinha e direta ao ponto!
Precisamos resolver a EDO de segunda ordem utilizando a substituição .
Nosso primeiro passo é transformar a EDO de e para e . Isto é, vamos reduzir a ordem da EDO de segunda para primeira. Com isto, vamos começar determinando quem é . Derivando a nossa relação de e (regra da cadeia), temos:
Fazendo a substituição, temos:
Só que,
E assim chegamos a uma EDO separável de primeira ordem em relação a e . Precisamos integrá-la para resolve-la.
Passo 2
Continuando, integrando ambos os membros da equação do final do Passo 1, temos:
Como tanto faz o sinal da constante , podemos reescrever ela como , e assim obter:
Só que . Portanto, a nossa relação acima ainda é uma EDO. Isto é:
Outra EDO de primeira ordem separável para resolvermos.
Passo 3
Para finalizarmos a questão, basta repetirmos todo o processo do Passo 2, só que com a nossa nova EDO. Portanto,
Integrando-a, temos:
E essa é o resultado da nossa questão. Percebam que nós temos duas constantes, e , na equação acima.