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Exercícios Resolvidos de EDO com Mudança de Variáveis

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Enunciado

Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada

2 x csc ⁡ 2 y d y d x = 2 x - ln ⁡ ( tan ⁡ y )  

Passo 1

Para fazermos uma substituição numa equação a principal ideia é procurar o que está dando problema e substituir isso. Nessa equação a gente tem bastante coisa bizarra, vamos escolher a seguinte substituição.

u = ln ⁡ tan ⁡ y

Nos próximos passos vamos ver porque ela foi uma boa escolha.

Passo 2

Calculando d u d x

d u d x = 1 tan ⁡ y sec 2 ⁡ y d y d x = 1 sin ⁡ y cos ⁡ y d y d x  

Como sin ⁡ y cos ⁡ y = sin ⁡ 2 y 2  

d u d x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d y d x = 2 csc ⁡ 2 x d y d x    

Passo 3

Substituindo y ' e y na equação

x d u d x = 2 x - u  

Dividindo por x e manipulando a equação temos

d u d x + u x = 2

Agora é só resolver a EDO de primeira ordem em u onde temos.

A x = 1 x ,     B x = 2

Passo 4

Calculando I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

I x = e ln ⁡ x = x

Passo 5

Calculando a integral ∫ I x B x d x

∫ 2 x d x = x 2

Passo 6

Utilizando a formula para EDO de 1ª ordem.

u x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

u x = 1 x x 2 + C = x + C x

Substituindo u

ln ⁡ ( tan ⁡ y ) = x + C x

Resposta

ln ⁡ ( tan ⁡ y ) = x + C x

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