1. Considere o íon de Hélio H e +   ( Z   =   2 ) .

a. Deduza as expressões para a energia e o raio no modelo de Bohr

b. Calcule a energia do estado fundamental

c. Calcule o raio do íon no estado fundamental

d. Calcule a energia de ionização

e. Calcule o comprimento de onda da transição eletrônica do primeiro estado excitado para o estado fundamental. A radiação emitida seria perceptível ao olho humano? Por quê?

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos começar achando a relação da energia pelo raio!
  2. De modo geral, para qualquer átomo ou íon hidrogeniônico (com apenas 1 elétron), que é o caso do H e + , o modelo de Bohr assume que:

    1. A força centrípeta seria dada pela atração coulômbica entre o elétron e o núcleo:
    2. F c e n t r i p e t a = F c o u l ô m b i c a

      A partir daí podemos montar a seguinte relação,

      m v 2 r = Z e 2 4 π ϵ 0 r 2

      Simplificando, ficamos com

      m v 2 = Z e 2 4 π ϵ 0 r                     ( E q .   1 )

      Onde, Z é a carga nuclear.

      Além disso, temos que a energia potencial é dada pelo potencial coulômbico,

      V c o u l o b i c o = - Z e 2 4 π ϵ 0 r

      Então, a energia total (cinética + potencial) será:

      E = K + V

      E = m v 2 2 - Z e 2 4 π ϵ 0 r

      Substituindo a igualdade encontrada na ( E q .   1 )

      E = 1 2 Z e 2 4 π ϵ 0 r - Z e 2 4 π ϵ 0 r

      E = - 1 2 Z e 2 4 π ϵ 0 r

      Como o H e tem Z = 2 , ficamos com

      E = - e 2 4 π ϵ 0 r

      Agora vamos deduzir uma expressão para cada!

      Passo 2

    3. Para isso temos que lembrar que nas orbitas permitias, o momento angular é um múltiplo de h :

    L = m v r = n h 2 π

    v = n h 2 π m r

    Substituindo esse resultado na primeira expressão acima,

    m n 2 h 2 4 π 2 m 2 r 2 = Z e 2 4 π ϵ 0 r

    Isolando r ,

    r = ϵ 0 n 2 h 2 π m Z e 2

    Para o hélio, Z = 2

    r = ϵ 0 n 2 h 2 2 π m e 2

    Substituindo esse resultado na expressão para energia, temos,

    E = - 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2 n 2

    Prontinho! Temos então que para o H e + :

    E = - 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2 n 2

    r = ϵ 0 n 2 h 2 2 π m e 2

    Passo 3

  3. Para calcular a energia no estado fundamental, vamos aplicar a fórmula que determinamos no item a:
  4. E = - 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2 n 2

    Para o estado fundamental, temos que n = 1 . Logo,

    E = - 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2

    Como todos os outros valores são dados, agora é so substituir,

    E = - 1 2 9,11 × 10 - 31 k g   1,60 × 10 - 19 C 4 8,85 × 10 - 12 C 2 J - 1 m - 1 . 6,626 × 10 - 34 J s 2

    E = - 8,6811 × 10 - 18 J

    Passo 4

  5. Agora vamos fazer o mesmo cálculo para o raio, aplicando a fórmula que achamos no item a:
  6. r = ϵ 0 n 2 h 2 2 π m e 2

    Lembrando que para o estado fundamental n = 1 . Substituindo os dados:

    r = 8,85 × 10 - 12 C 2 J - 1 m - 1 6,626 × 10 - 34 J s 2 2 π 9,11 × 10 - 31 k g 1,60 × 10 - 19 C 2

    r = 2,65 × 10 - 11 m = 0,27 A

    Passo 5

  7. A energia de ionização é a energia necessária para excitar o elétron do nível n i =   1 para n f =   ∞ . A diferença de energia entre dois níveis quaisquer será:
  8. Δ E = E f i n a l - E i n i c i a l

    Δ E = 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2 1 n i 2 - 1 n f 2

    Como temos que n f tende ao infinito, temos que, 1 / n f tende a 0

    Δ E = 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2 1 n i 2 - 0

    Como n i = 1 , temos que essa energia é exatamente a energia do estado fundamental (com o sinal trocado). Assim, a energia de ionização ( E I ) será:

    E I = 8,6811 × 10 - 18 J

    Passo 6

  9. Aqui, queremos a energia da transição de n i =   2 para n f =   1 . Então vamos aplicar,

Δ E = 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2 1 n i 2 - 1 n f 2

Δ E = 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2 1 2 2 - 1 1 2

Calculando, ficamos com

Δ E = - 8,6811 × 10 - 18 J . 0,75 = - 6,5108 × 10 - 18 J

O sinal negativo indica que essa energia é liberada na transição!

Para acharmos o comprimento de onda, vamos aplicar:

λ = h c | E | = 6,626 × 10 - 34 J s .   3 × 10 8 m s - 1 6,5108 × 10 - 18 J

λ = 3,053 × 10 - 8 m = 30,53   n m

Essa radiação não seria perceptível ao olho humando, pois está na região do ultravioleta.

Resposta

  1. E = - 1 2 m e 4 ϵ 0 2 h 2 n 2
  2. r = ϵ 0 n 2 h 2 2 π m e 2

  3. E = - 8,6811 × 10 - 18 J
  4. r = 0,27 A
  5. E I = 8,6811 × 10 - 18 J
  6. λ = 30,53   n m , não é perceptível ao olho humano.

Exercícios Resolvidos de Energia de Ionização

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