A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio no estado é
onde é o raio de Bohr e é uma constante real.
(a) Para estes estados, dê os possíveis valores dos números quânticos , , e do elétron e também o módulo do seu momento angular orbital.
(b) Qual é a energia necessária para levar este elétron para o estado ?
(c) Use a condição de normalização para determinar o valor de .
(d) Calcule o valor médio de no estado
Passo 1
Sabemos que o estado tem o número quântico principal igual a
Já o número quântico secundário varia de até . Como , temos somente um valor possível para
Já o número quântico varia de até . Como , só temos uma possibilidade
E o número quântico de spin tem duas possibilidades
Agora o módulo do momento angular é dado por
Como temos
Passo 2
Temos que a energia do estado é
Já a energia do estado será
De forma que a energia para levar o elétron do estado para será
Passo 3
Aqui temos que usar a condição de normalização
Como a nossa função de onda tem simetria esférica (não depende de e ) vamos usar coordenadas esféricas para essa integral
A integral na parte angular será
Já a integral na parte radial poderia a princípio ser feita por partes, mas muito provavelmente ela vai estar no seu formulário, aparecendo da seguinte forma
Para deixar a nossa integral com a cara dessa aí do formulário faremos uma mudança de variável. No caso façamos
De forma que a nossa integral ficará
Essa última integral segundo nosso formulário será (dois fatorial).
Juntando tudo, temos
Isolando
Passo 4
Temos que o valor médio de será dado por
Aqui de novo podemos separar em parte angular e em parte radial
A parte angular, sabemos que será .
Já na parte radial temos que fazer a mesma substituição
Assim a integral na parte radial ficará
Pelo nosso formulário essa última integral será (três fatorial). Assim
onde usamos o valor de que descobrimos no item (c).
Juntando tudo temos