Origem do Exercício
A função de onda normalizada do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por
onde é o raio de Bohr e é a distância ao núcleo.
- Calcule a probabilidade de encontrarmos o elétron, no estado fundamental, dentro de uma esfera de raio centrada no núcleo.
- Qual é o módulo do momento angular no modelo de Bohr e na mecânica quântica de Schrödinger para o elétron no estado fundamental? Expresse suas respostas em termos de .
- Se um átomo de hidrogênio estiver no 3º nível excitado (), qual é o nível final atingido após a emissão de um fóton com maior comprimento de onda possível? Explique.
Passo 1
Letra a)
A distribuição de probabilidade radial de encontrar o elétron é dada por:
Assim, a probabilidade de encontrarmos o elétron, no estado fundamental, dentro de uma esfera de raio centrada no núcleo é:
Fazendo a substituição , teremos:
Essa integral pode ser resolvida duas vezes por partes, nos dando:
Fazendo a integral da direita por partes de novo:
Substituindo:
Assim, aplicando os limites de integração:
Passo 2
Letra b)
O módulo do momento angular do elétron hidrogenóide no átomo de Bohr é dado por:
No estado fundamental, e temos:
O módulo do momento angular do elétron hidrogenóide na mecânica quântica é dada por:
No estado fundamental, e temos:
Passo 3
Letra c)
A energia do fóton emitido na transição vai ser:
Onde essa energia é dada em elétrons volt.
Porém:
E com isso o comprimento de onda desse fóton será:
Ou seja, quanto maior o nível final, menor o comprimento de onda do fóton emitido.
Como o fóton foi emitido, e não absorvido, sabemos também que .
Logo, o maior possível é .
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)