Origem do Exercício
Nesta questão denotamos por os estados do átomo de hidrogênio sem levar em conta o spin do elétron, onde , e são respectivamente os números quânticos principal, orbital e magnético. Os números quânticos magnéticos foram determinados com respeito a um campo magnético com componente somente na direção .
- A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é
- Um elétron está no estado . Considere a energia e o momento angular orbital e seu módulo . Quais são os valores de , e ?
- Considere agora um átomo com muitos elétrons na aproximação onde se despreza a interação entre os elétrons. Neste caso, a função de onda de cada elétron é semelhante à do hidrogênio e possui os mesmos números quânticos. Levando em conta o número quântico de spin, determine o número máximo de elétrons que possuem o número quântico principal igual a .
onde é o raio de Bohr. Calcule o valor da constante de normalização.
Passo 1
Letra a)
Para normalizar a função de onda, temos que integrá-la em todo o espaço tridimensional, e assim:
Porém, isso é muito difícil pois, para integrar em , teríamos que usar .
Então, o mais simples é transformarmos isso em uma integral na distribuição de probabilidade radial, , fazendo o elemento de volume esférico virar um elemento no raio:
E assim:
Agora substituindo:
Para resolver a integral, poderíamos fazer uma substituição de variável e integrar por partes, achar uma fórmula, entre outras coisas.
Mas dessa vez, faremos um pouco diferente: Iremos dar uma fórmula direta. No formulário, é possível que seja dada essa fórmula, e por isso que vamos fazer assim dessa vez (nessa prova, essa fórmula era dada).
No caso, e , e assim:
Substituindo na fórmula da normalização:
Passo 2
Letra b)
A energia do elétron é dada por:
Como ele está no estado , então , e sua energia é:
O módulo do momento angular é dado por:
No estado temos , e assim:
E a componente do momento angular ao longo do eixo é
Onde , e assim:
Passo 3
Letra c)
Com o número quântico principal igual a , os valores de possíveis são:
Agora vejamos os valores de possíveis para cada .
Temos então trincas de valores possívels para . Levando em conta o spin do elétron, para cada trinca, eu posso ter dois elétrons em cada trinca (spin up e spin down).
Logo, eu posso ter elétrons com .
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
Eu posso ter elétrons com