Nesta questão denotamos por os estados do átomo de hidrogênio sem levar em conta o spin do elétron, onde , e são respectivamente os números quânticos principal, orbital e magnético. Os números quânticos magnéticos foram determinados com respeito a um campo magnético com componente somente na direção .

1. A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é

onde é o raio de Bohr. Calcule o valor da constante de normalização.

2. Um elétron está no estado . Considere a energia e o momento angular orbital e seu módulo . Quais são os valores de , e ?
3. Considere agora um átomo com muitos elétrons na aproximação onde se despreza a interação entre os elétrons. Neste caso, a função de onda de cada elétron é semelhante à do hidrogênio e possui os mesmos números quânticos. Levando em conta o número quântico de spin, determine o número máximo de elétrons que possuem o número quântico principal igual a .

Letra a)

Para normalizar a função de onda, temos que integrá-la em todo o espaço tridimensional, e assim:

Porém, isso é muito difícil pois, para integrar em , teríamos que usar .

Então, o mais simples é transformarmos isso em uma integral na distribuição de probabilidade radial, , fazendo o elemento de volume esférico virar um elemento no raio:

E assim:

Agora substituindo:

Para resolver a integral, poderíamos fazer uma substituição de variável e integrar por partes, achar uma fórmula, entre outras coisas.

Mas dessa vez, faremos um pouco diferente: Iremos dar uma fórmula direta. No formulário, é possível que seja dada essa fórmula, e por isso que vamos fazer assim dessa vez (nessa prova, essa fórmula era dada).

No caso, e , e assim:

Substituindo na fórmula da normalização: