USP – Física 4 – 2019 – P3
A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio, no estado , é dada por
onde é o raio de Bohr e é uma constante real.
Determine a região do espaço em torno do próton onde a energia deste elétron, na descrição da mecânica quântica, é menor do que a energia potencial do elétron, na descrição da mecânica clássica. Apresente a resposta em termos do raio de Bohr .
Use a condição de normalização para determinar o valor de .
Para este estado, escreva a expressão da distribuição de probabilidade radial (densidade de probabilidade radial). Calcule o valor de para o qual ela é máxima.
Calcule o valor numérico da probabilidade de encontrar o elétron a uma distância maior do que . Utilize as estimativas para potências de : , , , .
Passo 1
Vamos lá então!
Para não ter confusão vou dedicar cada passo a explicação e resolução de um item. Com isso vamos conseguir resolver essa questão juntos.
Passo 2
Item .
Esse item quer a região onde a energia do elétron no átomo de hidrogênio, dada por:
Seja menor que a energia potencial sobre o elétron dado por:
Então ele quer a região que isso aconteça.
O que bem dizer é o valor de para que isso seja verdade.
Passo 3
Vamos considerar que é o estado mais fundamental, assim temos:
Lembrando que o raio de Bohr é dado por:
Temos que:
Então na região onde temos a energia do elétron na descrição quântica menor que a energia potencial na descrição clássica.
Passo 4
Item .
Esse item quer que encontremos e ele fala para fazer isso usando a condição de normalização que para coordenadas esféricas é dada por:
Substituindo a função de onda que temos, ficamos com:
Como a nossa função de onda não depende de e a integral nessas coordenadas nos da um valor de , assim temos:
Passo 5
Do passo anterior temos então que:
Resolvendo a integral, temos:
Logo temos que:
Prontinho, encontramos o que ele queria.
Passo 6
Item .
Esse item ele quer a densidade de probabilidade radial da função de onda e quer o valor de que faz essa densidade ser máxima.
Para achar essa densidade, basta usar a definição dela que é:
E depois que encontrarmos essa densidade vamos derivá-la em função de e igular a zero pois assim encontramos o valor de que faz essa densidade ser máxima.
Então temos que:
Lembrando que encontramos , temos:
Pronto, essa é a densidade de probabilidade para esse caso.
Passo 7
Agora vamos derivar essa densidade em função de , temos:
Agora vamos achar o valor de para que essa expressão seja igual a zero, temos:
Então temos que:
Então esse é o valor que nos dá máximo da densidade de probabilidade.
Passo 8
Item .
Esse item quer a probabilidade de encontrarmos o elétron a uma distância maior que . Podemos encontrar isso usando o fato de que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região do espaço é:
Substituindo a função de onda que temos, ficamos com:
Como a nossa função de onda não depende de e a integral nessas coordenadas nos da um valor de , assim temos:
Resolvendo a integral, temos:
Logo temos que:
Prontinho, encontramos o que ele queria.