03) Um disco homogêneo, de massa e raio , pode rolar sem escorregar sobre uma superfície plana horizontal que está fixa com respeito a um referencial inercial. A mola linear, de rigidez e comprimento natural , está vinculada a uma base fixa em e ao disco em seu centro . Seja o ângulo entre e a vertical , indicado na figura. Pede-se:

a) O diagrama de corpo livre para o disco.

b) As expressões, em termos de e , do vetor posição , da velocidade do ponto e da velocidade angular do disco.

c) A expressão da energia cinética do sistema.

d) A expressão da energia potencial do sistema.

e) Considerando que o sistema parta do repouso na configuração , determine o vetor de rotação do disco quando o sistema atingir pela primeira vez a configuração .

Dado: para o disco,

b) Aqui devemos calcular o vetor posição , a velocidade do ponto e a velocidade angular do disco em função de e .

Bora começar por . Usando as direções e , temos:

Onde representa a distância horizontal entre e . Daí:

Pela figura acima, sabemos que:

Logo:

Massa! Pra determinar a velocidade do ponto , podemos derivar o vetor posição. Assim:

Portanto:

Bouaa! Pra terminar esse item só precisamos determinar a velocidade angular do disco.

Mas pô, não apareceu velocidade angular em nenhuma dessas equações, e agora?

A sacada é lembrar que é centro instantâneo de rotação, assim também podemos escrever:

Igualando as duas expressões, temos:

Prontinho 😊

c) Devemos determinar a energia cinética do sistema.

O problema é que esse disco tá rolando, será que dá pra ignorar esse fato?

Nãaao, né pessoal? Precisamos considerar a energia cinética como sendo a soma de duas parcelas:

Assim, lembrando que:

Logo:

é dado e vale . Substituindo os dados, vem:

Por fim:

d) Agora vamos determinar a expressão da energia potencial do nosso sistema.

Basicamente, vamos ter dois tipos de contribuição: , .

Assim:

Bora começar calculando a parcela elástica. Ela segue a fórmula:

Onde é a deformação da mola.

Assim, temos:

Substituindo na nossa expressão para a energia, vem:

Massa! Já o caso da é um pouco diferente. O que acontece é que em geral não calculamos um valor absoluta dessa energia, mas sim uma variação em relação a um certo nível de altura convencionado como referencial.

Só que, como o disco rola sobre a superfície, o seu centro sempre estará à mesma distância de qualquer nível que convencionarmos como referencial. Sendo assim, durante o movimento não haverá variação de e podemos considerá-la nula desde o início 😊

Portanto:

Bouaa! Já vamo pro último item!!

e) Pra encerrar a questão, precisamos determinar o vetor rotação do disco, , quando o disco passa pela primeira vez na posição , sabendo que .

Um negócio legal de perceber é que, se a superfície tiver comprimento longo o suficiente, o disco irá realizar um movimento oscilatório, tipo um .

Bom, voltando à questão, precisamos ter um pouco de malandragem também. Pelo enunciado vemos que os itens estão nos direcionando para uma abordagem por energia, então é isso que vamos fazer!

Bora olhar o DCL do disco:

Temos basicamente forças atuando. Quais delas realizarão trabalho?

Beleza, a normal nunca realiza trabalho! O peso só realiza trabalho se tiver deslocamento vertical, o que não ocorre. Agora cuidado:

O atrito até realizaria trabalho, mas como o disco rola sem escorregar, o ponto em que o atrito está agindo está sempre com , é como se ele estivesse parado a cada instante, de modo que o trabalho do atrito é nulo também. Sacaram?

Portanto, só nos resta a força elástica, que é uma força conservativa. Assim, podemos conservar a energia entre o instante inicial e o final. Daí:

Usando que , e também que o sistema ainda está em repouso, vem:

Quando tivermos , temos que vale:

Igualando as duas expressões, chegamos que:

Logo, isolando , vem:

Como o disco rola para a esquerda, , assim:

Mas, sabemos lá do item b), que:

Substituindo, finalmente temos que:

Aeeee, matamos mais uma! Essa abordagem por energia é bem interessante né?

Valeu galera, até a próxima! Tamo junto 😊