Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

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Enunciado

Uma aproximação razoável para a camada-limite laminar incompressível bidimensional sobre a superfície plana da figura é

u = U 2 y δ -   y ² δ ²   p a r a   y   ≤   δ   e m   q u e   δ = C x 1 / 2 ,   C = c o n s t a n t e

( a )   Admitindo uma condição de não escorregamento na parede, encontre uma expressão para o componente de velocidade v x , y para y   ≤   δ .

( b ) Depois encontre o valor máximo de v em x = 1   m , para o caso particular do escoamento de ar, quando U = 3   m / s e δ = 1,1   c m .

Passo 1

Do enunciado tiramos as seguintes informações:

u = U 2 y δ - y 2 δ 2 ,   δ = C x 1 / 2

Por curiosidade, condição de não-escorregamento quer dizer que a velocidade do fluido na parede é a mesma da parede, no caso V = 0 .

Passo 2

Pare encontramos v ( x , y ) devemos aplicar a equação da continuidade, para escoamentos incompressíveis e bidimensionais:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Substituindo δ em u :

u = U 2 y C x 1 / 2 - y 2 C x 1 / 2 2

u = U 2 y C x 1 / 2 - y 2 C ² x

Calculando a derivada em x :

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x U 2 y C x 1 / 2 - y 2 C 2 x

∂ u ∂ x = U - 1 2 2 y C 1 x 3 / 2 + y 2 C 2 x ²

∂ u ∂ x = U - y C x 3 / 2 + y 2 C 2 x ²

Substituindo na continuidade:

U - y C x 3 / 2 + y 2 C 2 x ² + ∂ v ∂ y = 0

Logo,

∂ v ∂ y = - U - y C x 3 / 2 + y 2 C 2 x ²

Separando as variáveis e integrando:

v = ∫ - U - y C x 3 / 2 + y 2 C 2 x ² d y

v = U ∫ y C x 3 / 2 - y 2 C 2 x ² d y

v = U ∫ y C x 3 / 2 - ∫ y 2 C 2 x ² d y

Logo a resposta da letra a)

v = U 1 2 y ² C x 3 / 2 - 1 3 y 3 C 2 x ²

Passo 3

Se queremos descobrir o valor máximo de v em x = 1   m , devemos usar a relação, para maximizar o valor de v ,

∂ v ∂ y x = 1 = 0

Sabemos que:

∂ v ∂ y = U y C x 3 / 2 - y 2 C 2 x ²

Conhecemos U = 3 m / s , x = 1 e que δ = 1,1   c m = 1,1 ∙ 10 - 2   m

De x   e δ calculamos C :

δ = C x 1 / 2

C = δ x 1 / 2

C = 1,1 ∙ 10 - 2 1

C = 1,1 ∙ 10 - 2

Substituindo em ∂ v ∂ y = 0 ,

0 = 3 y 1,1 ∙ 10 - 2 ∙ 1 3 / 2 - y 2 1,1 ∙ 10 - 2 2 ∙ 1 ²

0 = y 1,1 ∙ 10 - 2 - y 2 1,1 ∙ 10 - 2 2

0 = 1,1 ∙ 10 - 2 y - y ²

y ( 1,1 ∙ 10 - 2 - y ) = 0

Temos duas soluções,

y = 0

Que é onde temos velocidade mínima, na parede.

E,

y = 1,1 ∙ 10 - 2   m = δ

Que é no topo da camada limite

Logo v máximo:

v = U 1 2 y ² C x 3 / 2 - 1 3 y 3 C 2 x ²

v = 3 1 2 0,011 ² 0,011 1 3 / 2 - 1 3 0,011 3 0,011 2 1 ²

v = 3 1 2 0,011 - 1 3 0,011

v = 3 0,033 - 0,022 6

v = 0,0055   m / s

Resposta

Letra a) v = U 1 2 y ² C x 3 / 2 - 1 3 y 3 C 2 x ²

Letra b)

v = 0,0055   m / s

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