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Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

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Exercício 12345678

Enunciado

As coordenadas polares esféricas (r, θ, ϕ) são definidas na figura. As transformações cartesianas são

x = r   s e n   θ cos ⁡ ϕ

y = r   s e n   θ sen ⁡ ϕ

z = r   c o s   θ

A relação da continuidade cartesiana incompressível (Equação 1) pode ser transformada na forma polar esférica (Equação 2)

Equação 1

∂ u ∂ x +   ∂ v ∂ y +   ∂ w ∂ z = 0

Equação 2

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r s e n θ ∂ ∂ θ v θ s e n   θ +   1 r s e n θ ∂ ∂ ϕ v ϕ = 0  

Qual é a forma mais geral de v r quando o escoamento é puramente radial, isto é v θ e v ϕ são nulas?

Passo 1

Então chefe, de cara o exercício nos pede pra encontrar v r sabendo que v θ e v φ são iguais a zero.

Aplicando isso na equação da continuidade que ele nos fornece, sumimos com um monte de termos e ficamos com a seguinte expressão:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r = 0

Onde chegamos na seguinte conclusão

∂ ∂ r r 2 v r = 0

Se integrarmos a equação acima em r , chegamos na expressão para v r :

v r ( r , θ , φ ) = 1 r 2 C ( θ , φ )

Onde C θ , φ garante a generalidade da solução.

Passo 2

Aplicando a nossa função na equação, sempre teremos a continuidade satisfeita:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 1 r 2 C ( θ , φ ) = 0

1 r 2 ∂ C ( θ , φ ) ∂ r = 0

Como C ( θ , φ ) não depende de r , a derivada será sempre zero.

Resposta

v r ( r , θ , φ ) = 1 r 2 C θ , φ

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