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Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

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Exercício 21345678

Enunciado

Um escoamento idealizado incompressível tem a distribuição tridimensional de velocidade proposta:

V = 4 x y 2 i +   f y j - z y ² k  

Encontre a forma apropriada da função f ( y )   que satisfaz a relação da continuidade

Passo 1

Então galera, vamos antes de tudo lembrar que u , v , e w são as componentes de V em cada direção x , y e z . Ou seja podemos reescrever o campo de velocidade V desse jeito:

u = 4 x y 2

v = f y

w = - z y 2

Nosso objetivo nesse problema é aplicar a Equação da Continuidade e procurar o formato que f ( y ) deve ter.

Passo 2

No enunciado ele nos dá uma informação também muito importante: o escoamento é INCOMPRESSÍVEL. Isso significa sempre que ρ é uma constante, logo qualquer derivada de ρ é igual a zero.

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

0 + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Colocando ρ em evidência:

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Sabendo que ρ = c o n s t a n t e ≠ 0 dividimos os dois lados por ρ :

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Passo 3

Agora precisamos encontrar os valores de ∂ u ∂ x e ∂ w ∂ z :

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x 4 x y 2 = 4 y ²

∂ w ∂ z = ∂ ∂ z - z y 2 = - y ²

Substituindo na expressão da Continuidade:

4 y ² + ∂ v ∂ y - y ² = 0

∂ v ∂ y = - 4 y 2 + y ²

∂ v ∂ y = - 3 y ²

Sabemos que v = f ( y ) , ou seja não depende de nenhuma outra varíavel além de y , podemos reescrever a derivada e realizar a integração:

d v d y = - 3 y ²

d v = - 3 y 2   d y

∫ d v = ∫ - 3 y 2 d y

v = - 3   y 3 3 + C

Logo:

v = f y = - y 3 + C

Sendo C a constante de integraçã.

Resposta

f y = - y 3 + C

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