Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

Ver Teoria
Exercício 41235678

Enunciado

Um campo de escoamento incompressível tem os componentes cilíndricos v θ = C r , v z = K R 2 - r 2 , v r = 0 , em que C e K são constantes e r ≤ R , z ≤ L . Esse escoamento satisfaz a continuidade? O que ele pode representar fisicamente?

Passo 1

De novo um escoamento incompressível, logo ρ = c o n s t a n t e .

E mais uma vez aplicaremos o campo de velocidade a Equação da Continuidade, dessa vez na sua forma polar.

Passo 2

Sabemos pelo enunciado que:

v r = 0

v θ = C r

v z = K ( R 2 - r 2 )

Aplicando na Equação da Continuidade:

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r ρ r v r + 1 r ∂ ∂ θ ρ v θ + ∂ ∂ z ρ v z = 0

Sabemos também que

∂ ρ ∂ t = 0

O que reduz a nossa equação aos seguintes termos, já dividindo a equação por ρ = c o n s t a n t e

1 r ∂ ( r v r ) ∂ r + 1 r ∂ v θ ∂ θ + ∂ v z ∂ z = 0

Passo 3

Agora só nos resta realizer as derivações

∂ ( r v r ) ∂ r = ∂ ( r × 0 ) ∂ r = 0

∂ v θ ∂ θ = ∂ ( C r ) ∂ θ = 0

∂ v z ∂ z = ∂ ∂ z K R 2 - r 2 = 0

Substituindo na equação:

1 r × 0 + 1 r × 0 + 0 = 0

0 = 0

Passo 4

Esse escoamento pode representa um escoamento circular dentro de um tubo cilíndrico de raio R e altura L que está em movimento circular.

No centro do cilindro o fluido não rotaciona ( v θ 0 = 0 ), apenas move-se no sentido z , com velocidade v z ( 0 ) = K R ² . Na parede do cilindro v z ( R ) = 0 e v θ ( R ) = C R , adiante veremos que isso tem o nome de hipótese do não escorregamento na parede e podemos concluir que o cilindro está rotacionando com velocidade C R .

Resposta

Esse escoamento pode representa um escoamento circular dentro de um tubo cilíndrico de raio R e altura L que está em movimento circular.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma camada-limite laminar e incompressível é uma variação parabólica de u = 0 na superfície ( y = 0 ) até a velocidade de corrente livre, U ,
Um campo de escoamento incompressível tem os componentes cilíndricos v θ = C r , v z = K R 2 - r 2 , v r = 0 , em que C e K são constantes e r ≤ R , z ≤ L . Esse escoamento satisfaz a continuidade? O
Dada as componentes das velocidades de dois escoamentos de fluidos incompressíveis: A )v x = x 2 - yv y = x 3 - 2 x y B ) v x = y 3 - 3 x 2 y v y = 3 x y 2 - x 3 Verificar se os dois escoamentos são p
Sendo v x = x 2 + z 2 + 5 ; v y = y 2 + z 2 , determinar a forma mais simples da componente v z que satisfaça a equação da continuidade para um fluido incompressível.
O movimento de fluido incompressível de peso desprezível realiza-se segundo o campo de velocidades v x = a x ; v y = b y ; v z = c z Determinar as condições para as quais o movimento é possívelVerific