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Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

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Exercício 31245678

Enunciado

Considere o seguinte campo de velocidade bidimensional para um escoamento permanente e incompressível:

V = x 2 y i -   x y 2 j

Essa distribuição de velocidade satisfaz a equação da continuidade? Esse escoamento é possível?

Passo 1

Bem, na teoria, vimos que a equação da continuidade aqui na Análise Diferencial é essa aqui:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

E como o enunciado diz que o escoamento é permanente, a derivada em relação ao tempo é zero ∂ ρ ∂ t = 0 . Logo, a equação da continuidade fica assim:

∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Além disso, o fluido é incompressível, o que nos permite colocar a massa específica para fora da derivada, pois ela é constante e independe de x, y e z.

ρ ∂ u ∂ x + ρ ∂ v ∂ y + ρ ∂ w ∂ z = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Com essa equação, vamos analisar agora o perfil de velocidades!

Passo 2

Quem são u , v , e w ?

Essas letras são as componentes da velocidade em cada direção. Lembrando que o perfil de velocidade foi dado no enunciado:

V = x 2 y i -   x y 2 j

Podemos escrever em termos de cada componente:

  u = V x =   x 2 y

v = V y =   - x y 2

Como o escoamento é bidimensional:

w = V z = 0

Substituindo na equação da continuidade para regime permanente e fluido incompressível:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

∂ ( x 2 y ) ∂ x + ∂ ( - x y 2 ) ∂ y + 0 = 0

Resolvendo as derivadas parciais 2 x y - 2 x y + 0 = 0

0 = 0

Então, para a distribuição de velocidades dada, a equação da continuidade é satisfeita! Ou seja, esse escoamento é possível.

Resposta

Sim, a distribuição de velocidades dada satisfaz a continuidade.

Sim, o escoamento é possível.

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