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Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

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Exercício 81234567

Enunciado

Um campo de velocidade bidimensional é dado por

u = - K y x 2 + y 2

v =   K x x 2 + y 2

Em que K é constante. Esse campo satisfaz a continuidade incompressível? Transforme essas velocidades em componentes polares v r e v θ . O que esse escoamento pode representar?

Passo 1

O enunciado já nos diz a seguinte informação: “Um campo de velocidade bidimensional”, isso significa que w = 0 , pois não há movimento no eixo z .

Outra informação importante é que ele nos pede para checar se o campo de velocidade satisfaz a continuidade INCOMPRESSÍVEL, ou seja, checar a continuidade para ρ = c o n s t a n t e .

Isso tudo reduz a nossa equação conforme faremos abaixo:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

0 + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + 0 = 0

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Próxima etapa é aplicar o campo definido por u e v na nossa equação, ou seja, precisamos derivar u em função de x e v em função de y :

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x - K y ( x 2 + y 2 )

Aplicando a Regra do Quociente:

f g ' = g f ' - g ' f g ²

No nosso caso:

g = ( x 2 + y 2 ) e f = - K y

∂ ∂ x - K y ( x 2 + y 2 ) = - K y ( x 2 + y 2 ) ' = x 2 + y 2 . 0 - 2 x . ( - K y ) ( x 2 + y 2 ) ²

Arrumando as coisas:

∂ u ∂ x = 2 K x y ( x 2 + y 2 ) ²

Realizando o mesmo procedimento para ∂ v ∂ y :

∂ v ∂ y = ∂ ∂ y K x ( x 2 + y 2 )

∂ v ∂ y = x 2 + y 2 . 0 - 2 y . K x ( x 2 + y 2 ) ²

∂ v ∂ y = - 2 K x y ( x 2 + y 2 ) ²

Aplicando na Continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

2 K x y ( x 2 + y 2 ) ² - 2 K x y x 2 + y 2 2 = 0

0 = 0

Logo, sim a Continuidade é satisfeita.

Passo 3

Para a próxima parte do problema, devemos transformar nossas coordenadas cartesianas em cilíndricas ou polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r s en ⁡ θ

Aplicando em u e v :

u = - K y ( x 2 + y 2 ) = - K r s e n ⁡ θ ( r ² cos ² ⁡ θ + r ² s e n ² ⁡ θ )

Sabendo que cos ² ⁡ θ + sin ² ⁡ θ = 1 :

u = - K r s e n ⁡ θ r ² ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 ⁡ θ ) = - K r s e n ⁡ θ r 2

u = - K r s e n ⁡ θ

Fazendo o mesmo para v :

v = K r cos ⁡ θ

Passo 4

Agora para encontrarmos v r e v θ , devemos usar as seguintes relações de transformação de velocidades cartesianas e polares:

u = v r cos ⁡ θ - v θ s e n ⁡ θ

v = v r s e n ⁡ θ + v θ cos ⁡ θ

Comparando com as expressões que encontramos no Passo 3

v r cos ⁡ θ - v θ s e n ⁡ θ = - K r s e n ⁡ θ

É o mesmo que dizer:

v r cos ⁡ θ - v θ sin ⁡ θ = 0 . cos ⁡ θ - K r s e n ⁡ θ

Logo

v r = 0

v θ = K r

E isso representa um vortex potencial.

Resposta

v r = 0

v θ = K r

Representa um vortex potencial.

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