Considere a condução de calor em uma barra homogênea de comprimento igual a m e coeficiente de difusividade térmica igual a , cuja superfície lateral está isolada e que só troca calor com o ambiente através de suas extremidades. Suponha ainda que esteja inicialmente a uma temperatura de C e que a temperatura dos extremos da barra seja mantida constante igual a C para todo . Determine a temperatura sabendo que tal problema é modelado por
Passo 1
Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (as extremidades da barra tem temperaturas fixadas em valores diferentes de zero) precisamos primeiro procurar uma solução estacionária , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:
Como não possui a variável , sua derivada em relação a é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:
É só integrar 2 vezes!
Beleza, além disso, a solução também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:
Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de que encontramos!
Passo 2
Mas o que nós queremos é , não . Certo, vamos dizer o seguinte:
Agora, nós vamos entender a solução como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que é a soma de com uma função de e , . Vamos substituir essa definição de nas condições do problema:
Passo 3
Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em ? Basta resolvê-lo para encontrar então.
Se você reparar, nós temos
Aplicando a separação de variáveis:
Substituindo na equação de calor:
O que nos dá
Aplicando a separação de variáveis para as condições de contorno de :
Passo 4
Temos agora que resolver o problema de contorno em :
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Agora vamos resolver o problema em .
Passo 5
Tendo o valor de , vamos resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como vimos no capítulo passado, sua solução é
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Essa é a solução fundamental , nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, então, podemos escrever:
Certo?
Passo 6
Beleza, mas esse não serve de nada se não tivermos os coeficientes , né? Para encontrá-los, vamos usar a condição que está faltando
Aqui tem um detalhe. Repare que a condição é sobre , não sobre ! Mas nós sabemos que , não é? Então vamos usar isso:
Agora sim, podemos usar a condição:
Precisamos então encontrar o . Vendo essa série como uma Série de Fourier de senos, fazemos uma extensão ímpar na função e temos:
Como , podemos escrever:
Podemos ver que para par, , pois . Para valores ímpares de teremos:
Assim, vamos reescrever , com Assim a gente garante que só vai ter índices ímpares em