Considere o problema de valor inicial e de contorno, definido por
Que representa a distribuição de temperatura numa barra de seção uniforme, de material homogêneo e de comprimento .
a) Determinar a distribuição de temperatura da barra, denotada por para todo , após alcançado o estado de equilíbrio térmico (estado estacionário).
b) Definindo , determinar o problema de valor inicial e de fronteira que a função deverá satisfazer. Não é necessário resolver o problema obtido, porém deve se justificar todos os argumentos que conduzem a ele.
Passo 1
Letra a)
Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (um lado da barra tem temperatura fixada em e o outro em ), precisamos primeiro procurar uma solução estacionária , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:
Como não possui a variável , sua derivada em relação a é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:
É só integrar 2 vezes!
Beleza, além disso, a solução também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:
Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de que encontramos!
Pronto, essa é a expressão de .
Passo 2
Letra b)
Mas o que nós queremos é , não . Certo, vamos dizer o seguinte:
Agora, nós vamos entender a solução como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que é a soma de com uma função de e , . Vamos substituir essa definição de nas condições do problema:
Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em ? Basta resolvê-lo para encontrar então.
Aplicando a última condição que o problema deu, temos:
Se você reparar, nós temos
Esse é o problema que deve satisfazer. Encontrando a função , fazendo , nós temos a solução do problema.
Nesse caso, a questão pede apenas que apresentemos o problema, sem resolvê-lo.