Determine uma solução de estado estacionário do problema de contorno
Passo 1
Essa é a equação do calor e ele tá pedindo a solução de estado estacionário pra isso vamos ter que definir a nossa função da seguinte forma.
O que estamos fazendo? A gente tá propondo que para um tempo muito grande, a solução só vai depender da posição na barra. Como queremos que seja solução da equação, ela deve satisfazer essa equação, ou seja:
Mas como é uma função só de .
Então temos que resolver a seguinte equação.
Passo 2
Para resolvermos essa EDO é moleza. Integrando dos dois lados uma vez teremos.
Onde é uma constante. Integrando novamente.
Onde é uma constante.
Passo 3
Vamos agora utilizar as informações iniciais para calcular os valores de e .
Além de satisfazer a equação, essa solução deve satisfazer as condições de contorno também. Então, primeiro vamos usar o fato que .
Passo 4
Vamos agora usar a informação que
Substituindo
Como
Sendo assim a nossa solução fica