Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Não Homogênea

Enunciado

Determine a solução do problema

Onde

Passo 1

Aqui já temos de cara um problema:

Essa condição não dá zero, então vai complicar na hora de separar as variáveis. Para contornar esse problema, precisamos fazer uma substituição:

Tal que:

Para primeira condição, se :

Mas aí tem o problema com :

Para contornar esse problema, fazemos:

Assim, a última condição vai ficar:

E teremos o problema:

Passo 2

Resolvido o primeiro entrave, vamos aplicar o método da separação de variáveis:

Para substituir na EDP, derivamos convenientemente:

Show, agora teremos:

E então colocamos tudo que for de um lado e tudo que for do outro:

Como temos função de de um lado e função de do outro, o único jeito dessa igualdade ser verdadeira é se for igual a uma constante:

A partir disso, conseguimos chegar nas EDOs associadas. Para cada igualdade, temos:

Da mesma forma:

Legal, agora a partir das condições de contorno, conseguimos achar algumas condições para essas funções:

Como queremos soluções não triviais:

Da mesma maneira:

Assim, teremos os problemas:

Passo 3

Vamos agora resolver o problema que tem mais condições de contorno. Vamos ter a equação característica:

OK, como as raízes da equação característica dependem de , vamos estudar caso a caso o sinal dele para ver como fica a nossa solução. Quando , teremos duas raízes reais e distintas. Logo, vamos ter uma solução na forma exponencial:

Agora aplicamos as condições iniciais:

Temos entre parênteses duas exponenciais distintas, então resta:

Logo, só teremos a solução trivial neste caso:

Vamos ver então o que acontece para . Neste caso, teremos:

Ou seja, teremos duas raízes identicamente nulas e a solução será na forma de uma reta:

Aplicando as condições:

Então novamente vamos ter a solução trivial:

Vamos ver agora . Neste caso, teremos:

Ou seja, teremos duas raízes puramente imaginárias e nossa solução será com senos e cossenos:

Aplicando uma condição:

Aplicando a outra condição:

Como buscamos soluções não triviais, precisamos que:

Isso acontece para quando temos seno na forma:

Portanto igualamos o argumento do seno a isso:

Isolando :

Como neste caso:

Que serão os autovalores associados. Desconsiderando a constante e substituindo esse valor, chegamos na solução fundamental:

Passo 4

Guardamos essa solução no coração e vamos para a outra EDO:

Essa é uma EDO separável, teremos:

Integrando dos dois lados:

Definimos e vamos ter:

Vimos que , portanto, teremos:

Passo 5

Quase lá! Assim teremos retornando a :

A solução geral será dada pela combinação linear dessas soluções:

Para encontrar o coeficiente , vamos para a última condição:

Assim:

Em que:

Passo 6

Comparando, vemos que a é o coeficiente de Fourier associado à função do lado direito da equação. Como temos uma série apenas em senos. Usaremos a extensão ímpar desta função.

De forma geral, temos: