Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Não Homogênea

Ver Teoria
Exercício 81234567910

Enunciado

Questão 4: Determine a solução u x ,   t do problema

u t - u x x = 0               x ,   t ∈ ] 0 ,   20 [ × ] 0 ,   ∞ [ u 0 ,   t = 100                                                     t ∈ ] 0 ,   ∞ [ u 20 ,   t = 200                                                 t ∈ ] 0 ,   ∞ [ u x ,   0 = f x                                                 x ∈ ] 0 ,   ∞ [

Onde

f x = 100           s e   0 ≤ x < 5 150           s e   5 ≤ x < 1 5 200           s e   15 ≤ x < 20

Passo 1

Não sei se você percebeu, mas pelo fato de termos as condições de contorno não nulas, estamos lidando com o problema da equação do calor não homogêneo:

α 2 u x x = u t             ,     o n d e         0 ≤ x < L   e         t > 0

u 0 , t = T 1

u L , t = T 2

u x , 0 = f ( x )

Onde T 1 = 100 , T 2 = 200 , L = 20 e por fim, no nosso caso, temos α = 1 . Poxa, pela teoria, a solução do problema não homogêneo é a soma do problema estacionário v x com a solução do problema homogêneo w x ,   t :

u x , t = v x + w x ,   t

Então basicamente, temos que encontrar a solução desses dois problemas que estará resolvida a nossa questão, saca?

Passo 2

Vamos primeiro dar a resposta do problema homogêneo:

w t - w x x = 0               x ,   t ∈ ] 0 ,   20 [ × ] 0 ,   ∞ [ w 0 ,   t = 0                                                 t ∈ ] 0 ,   ∞ [ w 20 ,   t = 0                                                 t ∈ ] 0 ,   ∞ [  

Bem, como o problema homogêneo já é conhecido, não há necessidade de fazê-lo novamente. Isso faria com que você perdesse muito tempo, em algo que não é para perder. Como você é uma pessoa sagaz, vou te dar a dica de ouro: memorize a solução do problema homogêneo:

w x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

Só que no nosso caso, α = 1 e L = 20 :

w x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x 20 e - π 2 n 2 t / 20 2    

Passo 3

Agora temos que encontrar a solução do problema estacionário:

v x

De acordo com a Teoria nossa, a solução é dada assim:

v x = T 2 - T 1 L x + T 1   →

Substituindo as temperaturas conhecidas:

v x = 200 - 100 20 x + 100   →

v x = 5 x + 100

Com isso, a gente pode voltar para a solução da equação do calor não homogênea:

u x , t = v x + w x ,   t   →

u x , t = 5 x + 100 + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x 20 e - π 2 n 2 t / 20 2    

Pois bem, agora nos falta encontrar qual é o valor de b n . Vamos nessa?

Passo 4

Para encontrar esse cara, o que você tem que fazer é usar a informação de valor inicial (macete: é aquela informação que tem o f x )...

u x ,   0 = f x

Aplicando essa informação na solução que obtivemos...

u x , 0 = 5 x + 100 + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e 0       →

u x , 0 = 5 x + 100 + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L     →

f x =   5 x + 100 + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L     →

Isolando esse somatório...

∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L   = f x - 5 x - 100

Mira o que a gente ganha! Essa é a série de em senos de Fourier! Logo, a gente pode tirar o b n através dos coeficientes da série de senos de Fourier:

b n = 2 L ∫ 0 L [ f x - 5 x - 100 ]   sen n π x L d x     →

Como f x é uma função definida por partes...

f x = 100           s e   0 ≤ x < 5 150           s e   5 ≤ x < 1 5 200           s e   15 ≤ x < 20

Teremos que desmembrar a integral para esses três intervalos:

b n = 2 20 ∫ 0 5 100 - 5 x - 100 sen n π x 20 d x + ∫ 5 15 150 - 5 x - 100 sen n π x 20 d x + ∫ 15 20 200 - 5 x - 100 sen n π x 20 d x   →

Simplificando...

b n = 2 20 ∫ 0 5 - 5 x sen n π x 20 d x + ∫ 5 15 - 5 x + 50 sen n π x 20 d x + ∫ 15 20 - 5 x + 100 sen n π x 20 d x   →

E desmembrando as integrais que tem soma em duas integrais diferentes...

b n = 2 20 ∫ 0 5 - 5 x sen n π x 20 d x + ∫ 5 15 - 5 x sen n π x 20 d x + ∫ 5 15 50 sen n π x 20 d x + ∫ 15 20 - 5 x sen n π x 20 d x + ∫ 15 20 100 sen n π x 20 d x   →

A gente ganha esse monte de integral para resolver! Mas calma, jovem gafanhoto! Ta vendo que tem três integrais integrando a mesma coisa, só que em intervalos diferentes? Elas estão em negrito. Você pode junta-las dentro de uma única integral, só que de 0 a 20 direto:

b n = 2 20 ∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x + ∫ 5 15 50 sen n π x 20 d x + ∫ 15 20 100 sen n π x 20 d x

Agora sim é só calcular essas três integrais!

Passo 5

As duas últimas integrais, basta integrar direto lembrando de que a integral do seno é o menos cosseno (lembre-se também de dividir por n π 20 , para não ter problemas com a regra da cadeia caso se queira derivar para obter o integrando de volta):

b n = 2 20 ∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x + 50 ∫ 5 15 sen n π x 20 d x + 100 ∫ 15 20 sen n π x 20 d x   →

b n = 2 20 ∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x + 50 - cos ⁡ n π x 20 n π 20 5 15 + 100 - cos ⁡ n π x 20 n π 20 15 20   →

Simplificando e substituindo os limites...

b n = 2 20 ∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x - 1000 cos ⁡ n π x 20 n π 5 15 - 2000 cos ⁡ n π x 20 n π 15 20   →

b n = 2 20 ∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x - 1000 cos ⁡ n π 15 20 n π - cos ⁡ n π 5 20 n π - 2000 cos ⁡ n π 20 20 n π - cos ⁡ n π 15 20 n π   →

b n = 2 20 ∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x + - 1000 cos ⁡ 3 n π 4 n π + 1000 cos ⁡ n π 4 n π + - 2000 cos ⁡ n π n π + 2000 cos ⁡ 3 n π 4 n π   →

Simplificando novamente, vamos obter isso daqui:

b n = 2 20 ∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x + 1000 cos ⁡ 3 n π 4 n π + 1000 cos ⁡ n π 4 n π - 2000 cos ⁡ n π n π   →

Agora só falta calcular essa primeira integral que é mais chatinha por ter esse x aí. Vamos fazê-la separado, ok?

Passo 6

∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x =

- 5 ∫ 0 20 x ⋅ sen n π x 20 d x

Vamos usar integração por partes, onde o u vai ser o x e o d v que vai ser o seno:

u = x               e                 d v = sen n π x 20 d x

Derivando o u e pegando a integral do seno que já calculamos lá em cima...

d u = d x               e                 v = - 20 cos ⁡ n π x 20 n π

Então, substituindo na integração por partes…

∫     x ⋅ sen n π x 20 d x = - 20 x cos ⁡ n π x 20 n π - ∫     - 20 cos ⁡ n π x 20 n π d x     →

∫     x ⋅ sen n π x 20 d x = - 20 x cos ⁡ n π x 20 n π + 20 n π ∫     cos ⁡ n π x 20 d x     →

E integrando o cosseno...

∫     x ⋅ sen n π x 20 d x = - 20 x cos ⁡ n π x 20 n π + 20 n π 20 sen n π x 20 n π     →

∫     x ⋅ sen n π x 20 d x = - 20 x cos ⁡ n π x 20 n π + 20 2 n 2 π 2 sen n π x 20

Voltando agora para a integral que devemos calcular (a integral definida):

- 5 ∫ 0 20 x ⋅ sen n π x 20 d x = - 5 - 20 x cos ⁡ n π x 20 n π + 20 2 n 2 π 2 sen n π x 20 0 20   →

Substituindo os limites e simplificando...

- 5 ∫ 0 20 x ⋅ sen n π x 20 d x = - 5 - 20 ⋅ 20 cos ⁡ n π 20 20 n π + 20 2 n 2 π 2 sen n π 20 20 - 0 + 20 2 n 2 π 2 ⋅0   →

- 5 ∫ 0 20 x ⋅ sen n π x 20 d x = + 2000 cos ⁡ n π n π - 2000 n 2 π 2 sen n π

Como sen n π é sempre 0 , pois múltiplos de 180 ° são todos ângulos em cima do eixo x ...

- 5 ∫ 0 20 x ⋅ sen n π x 20 d x = + 2000 cos ⁡ n π n π

Passo 7

Com esse valor calculado, podemos retornar para o cálculo do b n ...

b n = 2 20 ∫ 0 20 - 5 x sen n π x 20 d x + 1000 cos ⁡ 3 n π 4 n π + 1000 cos ⁡ n π 4 n π - 2000 cos ⁡ n π n π   →

Substituindo e simplificando...

b n = 2 20 2000 cos ⁡ n π n π + 1000 cos ⁡ 3 n π 4 n π + 1000 cos ⁡ n π 4 n π - 2000 cos ⁡ n π n π   →

b n = 1 10 + 1000 cos ⁡ 3 n π 4 n π + 1000 cos ⁡ n π 4 n π   →

b n = 100 n π cos ⁡ 3 n π 4 + 100 n π cos ⁡ n π 4  

b n = 100 n π cos ⁡ 3 n π 4 + cos ⁡ n π 4

Bem, se fosse uma prova real, você poderia parar aí e passar para a próxima questão. Mas se você é gosta de simplificações, aqui a gente pode ir um pouquinho além, lembrando qual é o valor da soma de dois cossenos:

cos ⁡ A + cos ⁡ B = 2 cos ⁡ A + B 2 cos ⁡ A - B 2

Por essa equação, a resposta do nosso problema será…

b n = 100 n π 2 cos ⁡ 3 n π 4 + n π 4 2 cos ⁡ 3 n π 4 - n π 4 2

b n = 2 00 n π cos ⁡ n π 2 cos ⁡ n π 4

Com o b n em mãos, a gente pode concluir o nosso problema:

u x , t = 5 x + 100 + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x 20 e - π 2 n 2 t 20 2  

Logo, a solução da nossa equação do calor pedida é...

u x , t = 5 x + 100 + ∑ n = 1 ∞ 200 n π cos ⁡ n π 2 cos ⁡ n π 4 sen ⁡ n π x 20 e - π 2 n 2 t / 20 2    

Resposta

u x , t = 5 x + 100 + ∑ n = 1 ∞ 200 n π cos ⁡ n π 2 cos ⁡ n π 4 sen ⁡ n π x 20 e - π 2 n 2 t / 20 2    

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores.13. y ' ' + π 2 y = a - c o s π x ,y 0 = 0 ,
Suponha que α 2 = 1 e que s(x) = k na Eq. (i), com k constante. Encontre υ(x).Suponha que T 1 = 0 ,T 2 = 0 ,L = 20 ,k = 1 / 5 e que f(x) = 0 para 0
Nos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansões em autofunções.4. y ' ' + 2 y ' = - x ,y ' 0 = 0 ,y ' 1 + y 1 = 0 ; Veja seção 11.2, Problema 11.
Nos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansões em autofunções.4. y ' ' + 2 y = - 1 + 1 - 2 x ,y 0 = 0 ,y 1 = 0 ; Veja seção 11.3, Problema 1.
Mostre que o problema y ' ' + π 2 y = π 2 x ,y 0 = 1ey 1 = 0 tem solução y = c 1 s e n π x + cos ⁡ π x + x . Mostre ainda que essa solução não pode ser obtida separando-se problema como sugerido no pr