Seja o problema de valor inicial e de fronteira relativo à equação do calor com extremos mantidos a diferentes temperaturas:
Determine a parte estacionária da solução;
Determine a parte transitória da solução e determine a solução do problema.
Passo 1
Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (um lado da barra tem temperatura fixada em e o outro em ), precisamos primeiro procurar uma solução estacionária , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:
Como não possui a variável , sua derivada em relação a é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:
É só integrar 2 vezes!
Beleza, além disso, a solução também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:
Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de que encontramos!
Pronto, essa é a expressão de .
Passo 2
Mas o que nós queremos é , não . Certo, vamos dizer o seguinte:
Agora, nós vamos entender a solução como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que é a soma de com uma função de e , . Vamos substituir essa definição de nas condições do problema:
Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em ? Basta resolvê-lo para encontrar então.
Aplicando a última condição que o problema deu, temos:
Se você reparar, nós temos
Esse é o problema que deve satisfazer. Encontrando a função , fazendo , nós temos a solução do problema.
Passo 3
Vamos fazer a separação de variáveis. Vamos supor que a função que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável por outra apenas da variável , dessa forma:
Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, tem que satisfazer a equação de calor, não é?
(Nesse caso, temos .) Então, vamos substituí-la ai! Temos:
Repare que, derivando em relação a , é vista como constante, o mesmo ocorre para quando derivamos em relação a . Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :
Como essa igualdade deve valer para todo e para todo e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:
Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:
Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis :
Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:
Passo 4
Resolver o problema de contorno.
Nós vamos encontrar o e o um de cada vez e, assim, encontrar . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável e a outra na , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!
Bom esse é um caso especial, as condições de Dirichlet homogêneas, não é? Nós já falamos sobre a solução desse problema na teoria desse capítulo, mas vamos fazer aqui passo a passo.
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Agora vamos resolver o problema em .
Passo 5
Tendo o valor de , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Passo 6
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.
Então, podemos escrever o seguinte:
Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:
Veja que, substituindo na série, temos :
Bom, se você reparar, aqui não precisamos nem calcular os ’s pela integral que dá os coeficientes de Fourier.
Chamando o termo geral da série de , vemos que é , ou seja, para valores diferentes de , os termos da série são nulos. Nós podemos fazer essa comparação porque a é função de senos.
Beleza, então temos que:
Os outros ’s são zero, então a série que procuramos é finita e só possui um termo:
Se você calculasse os ’s por integração, teria muito mais trabalho!
Agora, voltando para :