Considere o sistema abaixo:
Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas:
(I) O conjunto dos pontos (x,y) de que satisfazem as equações de S é uma reta de .
(II) O conjunto dos pontos (x,y,z) de que satisfazem as equações de S é uma reta de
(a) I é falsa e II é falsa.
(b) I é verdadeira e II é verdadeira.
(c) I é falsa e II é verdadeira.
(d) I é verdadeira e II é falsa.
Passo 1
Somando as duas equações do sistema S, vamos ter:
Substituindo em qualquer uma dessas equações, encontramos que:
Agora vamos ver as afirmativas.
Passo 2
(I) O conjunto dos pontos (x,y) de que satisfazem as equações de S é uma reta de .
Se estamos no , nossos pontos vão ser da forma (x,y). Substituindo os valores de x e y que encontramos no passo 1, vamos ter:
Isso é, ficamos com um único ponto em .
Então a afirmativa é falsa, porque o conjunto de pontos (x,y) de que satisfazem S se reduzem a um único ponto, que é o (0,0).
Passo 3
(II) O conjunto dos pontos (x,y,z) de que satisfazem as equações de S é uma reta de
Se estamos no , com as duas equações de S só conseguimos fixar as duas primeiras coordenadas dos pontos, ou seja, vamos ficar com vários pontos da forma:
Sendo possível variar valor da terceira coordenada e ainda satisfazer o sistema, que não depende dela.
Nesse caso, temos uma reta em .
Se você não conseguir visualizar isso espacialmente, note que:
Ou seja, temos o espaço gerado pelo vetor (0,0,1):
Esse espaço tem dimensão 1 e vimos que, quando a dimensão do espaço é 1, é porque se trata de uma reta.
Então a afirmativa II é verdadeira.
Resposta
(c) I é falsa e II é verdadeira.