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Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.2, Questão 12

Dentre os sistemas abaixo, aquele cujo conjunto solução possui maior dimensão é:

(a) x + y + z + w = 1 x - y + z + w = 1 x + y - z + w = 1 x + y + z - w = 1

(b) x + y + z + w = 1 2 x + 2 y + 2 z + 2 w = 1

(c) x + y = 1

(d)   x + y + z = 1 x - y + z = 1 x + y - z = 1

Passo 1

Conseguimos saber a dimensão fazendo:

d i m = n 0   d e   v a r i á v e i s - n 0   d e   e q u a ç õ e s   L I

Vamos ver letra por letra:

(a) x + y + z + w = 1 x - y + z + w = 1 x + y - z + w = 1 x + y + z - w = 1

Temos 4 variáveis mas vamos ver o número de equações L I   escalonando:

1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 L 4 → L 4 - L 1 1 0 0 0 1 - 2 0 0 1 0 - 2 0 1 0 0 - 2 1 0 0 0

Todas as linhas são L I ,   logo:

d i m = 4 - 4 = 0

Passo 2

(b) x + y + z + w = 1 2 x + 2 y + 2 z + 2 w = 1

Conseguimos ver facilmente que essas duas equações não são multiplas uma da outra, logo temos 2 equações L I .

d i m = 4 - 2 = 2

Passo 3

(c) x + y = 1

Aqui temos duas variaveis e uma equação, então

d i m = 2 - 1 = 1

Passo 4

(d)   x + y + z = 1 x - y + z = 1 x + y - z = 1

Vamos descobrir se essas equações aí são L I :

1 1 1 1 - 1 1 1 1 - 1 1 1 1 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 1 1 0 - 2 0 0 0 - 2 1 0 0

São L I !

Então aqui temos,

d i m = 3 - 3 = 0

Logo, o sistema da letra (b) é o que tem maior dimensão.

Resposta

B