Uma placa plana de de espessura feita de chumbo (com propriedades constantes e dadas pelo valor dessas a ) está com uma de suas faces sob uma chama que fornece a ela . A placa é quadrada com de lado. Pela outra face, uma corrente de ar a escoa paralelamente a . O sistema está a .
Se for possível, em quanto tempo a temperatura vai atingir ? Se não for possível atingir , qual é a temperatura máxima da placa?
Assuma modelo de parâmetros concentrados para resolver o problema.
As propriedades termofísicas do ar são dadas na tabela.
Passo 1
Assumindo o modelo de parâmetros concentrados, consideramos que a temperatura no interior da placa é uniforme.
Fazendo o balando de energia, temos que:
Como o corpo não gera calor por si só, a gente fica com:
Onde o calor entra por conta do fluxo térmico da chama, e o calor sai por conta da convecção entre a placa e o ar. Dessa forma:
Resolvendo a equação acima, teremos:
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida pelo método do fator integrante.
O fator integrante é dado por:
Pra simplificar a equação, vou chamar todo o termo constante dentro da integral de . Dessa forma:
Assim, a nossa equação diferencial terá a seguinte cara:
Onde é uma constante qualquer. Reorganizando a equação e substituindo a expressão de :
Vamos determinar essa constante mais à frente usando a condição inicial do problema, quando formos substituir os valores.
Pra seguir em frente, precisamos calcular o coeficiente convectivo.
Passo 2
Antes de calcular o coeficiente convectivo, precisamos das propriedades do ar. Como a temperatura da placa irá variar entre e , vamos usar a média dessas temperaturas pra calcular a temperatura de filme. Assim:
Assim, de acordo com a tabela A.4 do Incropera:
Para o chumbo, considerando a temperatura de , teremos:
Passo 3
Esse é um problema de convecção sobre uma placa plana. Assim, o número de Reynolds será:
Logo, como temos escoamento turbulento, a correlação mais adequada para o número de Nusselt será:
O coeficiente convectivo será:
Passo 4
Voltando à expressão que encontramos no Passo 1:
Aplicando a condição inicial de que, para , , teremos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Como queremos calcular o tempo necessário para que a placa atinja , vamos reorganizar a equação:
Substituindo os valores:
O termo no interior do logaritmo será negativo. Como isso não pode ocorrer, significa que a temperatura da placa nunca chegará a .
Passo 6
A temperatura máxima da placa será dada para . Assim:
Resposta
A temperatura da placa nunca chegará a .