Se f ( ϕ ) = c o s ϕ + j s e n ϕ , demonstre que f ( ϕ ) = e j ϕ .

Passo 1

Meio complicado né? Mas vamos começar pensar na derivada…

Bom, se nós derivarmos essa função, temos:

d f ( ϕ ) d ϕ =   - s e n ϕ   + j c o s ϕ

Como j 2 =   - 1

j 2 s i n ϕ + j c o s ϕ

j ( c o s ϕ + j s i n ϕ )

e como f ( ϕ ) = c o s ϕ + j s e n ϕ , então

d f ( ϕ ) d ϕ = j f ( ϕ )

Passo 2

Agora vamos começar com as manipulações matemáticas… tem que ter algumas sacadas, mas vamos aprender aqui que é bem fácil!

A gente vai querer integrar dos dois lados, então vamos fazer uma multiplicação cruzada entre o d ϕ e o f ( ϕ )

d f ( ϕ ) f ϕ = j d ( ϕ )

∫ d f ( ϕ ) f ( ϕ ) = ∫ j d ϕ     ⇒ ∫ 1 f ( ϕ ) d ϕ = ∫ j d ϕ  

l n   f ( ϕ = j ϕ + l n ( A )

l n   f ( ϕ - l n ( A )   = j ϕ

l n   f ( ϕ A = j ϕ

  f ( ϕ ) A = e j ϕ (aqui usamos a exponencial para se livrar do l n )

Então,   f ( ϕ ) = A e j ϕ

Passo 3

Agora vamos igualar essa equação que achamos com a do enunciado…

A e j ϕ = c o s ϕ + j s e n ϕ

Para achar o A vamos usar usar a condição inicial para ϕ = 0

A e j 0 = c o s 0 + j s e n 0

A = 1

Substituindo o A = 1 na equação, temos:

f ( ϕ )   = e j ϕ = c o s ϕ + j s e n ϕ

E assim, tá provado!

Resposta

f ( ϕ )   = e j ϕ = c o s ϕ + j s e n ϕ

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