Usando fasores, determine:

a   3 cos ⁡ 20 t + 10 ° - 5 cos ⁡ ( 20 t - 30 ° )

b   20 sen ⁡ 400 t + 10 cos ⁡ ( 400 t + 60 ° ) - 5   s e n ( 400 t - 20 ° )

Passo 1

No domínio do tempo é complicado efetuarmos essas operações, já que são senoides defasadas e com amplitudes diferentes. Então, utilizaremos fasores para efetuarmos essas contas. É importante ressaltar que para podemos fazer isso é necessário que a frequência ω seja a mesma.

Passo 2

Na letra ( a ) , temos:

3 cos ⁡ 20 t + 10 ° - 5 cos ⁡ ( 20 t - 30 ° )

Como as duas parcelas estão escritas em termo de cosseno, podemos transformá-los diretamente para fasores:

3 ∠ 10 ° - 5 ∠ - 30 °

Passo 3

Agora, para efetuarmos essa subtração precisamos passar os dois fasores para forma retangular:

3 ∠ 10 ° = 3 cos ⁡ 10 ° + j 3   s e n   10 ° = 2,95 + j 0,52

5 ∠ - 30 ° = 5 cos ⁡ - 30 ° + j 5   s e n - 30 = 4,33 - j 2,5

Efetuando a subtração, temos:

2,95 + j 0,52 - ( 4,33 - j 2,5 )

- 1,38 + j 3,02 = - ( 1,38 - j 3,02 )

Passo 4

Para voltarmos para o domínio do tempo, primeiro temos que passar o resultado que encontramos para forma polar:

1,38 - j 3,02     →     r = 1,38 2 + 3,02 2 = 3,32   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 3,02 1,38 = - 65,44 °

Não podemos esquecer do sinal de menos. Logo,

- 1,38 - j 3,02 = - 3,32 ∠ - 65,44 °

Para deixarmos o módulo do fasor positivo podemos somar ou subtrair 180 ° . Nesse caso, vamos somar 180 ° . Portanto,

- 3,32 ∠ - 65,44 ° = 3,32 ∠ 114,56 °

Agora que temos o fasor na forma polar podemos voltar para o domínio do tempo. Como ω = 20   r a d / s , temos:

3,32 cos ⁡ 20 t + 114,56 °

Passo 5

Na letra ( b ) , precisamos escrever todas as parcelas em termos de cosseno antes de transformá-las para fasores. Então,

20 sen ⁡ 400 t = 20   c o s ( 400 t - 90 ° )

- 5   s e n 400 t - 20 ° = 5   c o s 400 t - 20 ° + 90 °

Portanto, temos a seguinte expressão com todas as parcelas escritas em termos de cosseno:

20   c o s 400 t - 90 ° + 10 cos ⁡ ( 400 t + 60 ° ) + 5   c o s 400 t + 70 °

Passo 6

Agora, vamos escrever a expressão na forma fasorial.

20 ∠ - 90 ° + 10 ∠ 60 ° + 5 ∠ 70 °

Para efetuar essas somas precisamos passar cada fasor para forma retangular:

20 ∠ - 90 ° = - j 20

Quando temos o ângulo de 90 ° ou - 90 ° , passamos de uma forma para outra rapidamente, sem efetuar conta.

Isso ocorre porque se o fasor tem um desses ângulos ele só possui componente no eixo imaginário do plano complexo. Se for - 90 ° ele estará na parte negativa, logo na sua forma retangular terá apenas parte imaginária negativa ( - j ) . Já se for 90 ° sua forma retangular terá apenas parte imaginária positiva ( + j ) .

10 ∠ 60 ° = 10 cos ⁡   60 ° + j 10   s e n   60 ° = 5 + j 8,66

5 ∠ 70 ° = 5 cos ⁡ 70 ° + j 5   s e n   70 ° = 1,71 + j 4,7

Passo 7

Agora sim podemos efetuar as operações.

- j 20 + 5 + j 8,66 + 1,71 + j 4,7 = 6,71 - j 6,64

Para voltarmos para o domínio do tempo, primeiro temos que passar para forma polar:

6,71 - j 6,64     →     r = 6,71 2 + 6,64 2 = 9,44   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 6,64 6,71 = - 44,7 °

Agora que temos o fasor na forma polar podemos voltar para o domínio do tempo. Como ω = 400   r a d / s , temos:

9,44 cos ⁡ 400 t - 44,7 °

Resposta

a   3,32 cos ⁡ 20 t + 114,56 °

b   9,44 cos ⁡ 400 t - 44,7 °

Exercícios Resolvidos de Fasores

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