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Exercícios Resolvidos de Fasores

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Exercício 21345678910111213

Enunciado

Seja X = 4 ∠ 40 ° e Y = 20 ∠ - 30 ° . Calcule as quantidades a seguir e expresse seus resultados na forma polar:

a   X + Y X *

b   X - Y *

c   X + Y / X

Passo 1

O enunciado nos forneceu os fasores X e Y na forma polar. Como vimos na teoria, nas operações de adição e subtração nós utilizamos a forma retangular, enquanto que na multiplicação e divisão utilizamos a forma polar.

Então, vamos passar os fasores para forma retangular, porque dessa forma teremos eles expressos das duas formas e poderemos efetuar qualquer operação.

Passo 2

Transformando X e Y para forma retangular:

X = 4 ∠ 40 ° = 4 cos ⁡ 40 ° + j 4   s e n   40 °

X = 3,064 + j 2,571

Y = 20 ∠ - 30 ° = 20 cos ⁡ - 30 ° + j 20   s e n - 30 °

Y = 17,32 - j 10

Além disso, precisamos do conjugado de X . Para isso, basta colocarmos o sinal negativo no ângulo:

X * = 4 ∠ - 40 °

Passo 3

Agora vamos partir para os cálculos. Na letra ( a ) , temos:

X + Y X * = 3,064 + j 2,571 + 17,32 - j 10   ×   4 ∠ - 40 °

X + Y X * = ( 20,384 - j 7,429 )   ×   4 ∠ - 40 °

Passo 4

Agora, precisamos passar ( 20,384 + j 12,571 ) para forma polar antes efetuar a multiplicação.

20,384 - j 7,429     →     r = 20,384 2 + 7,429 2 = 21,695   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 7,429 20,384 = - 20,02 °

Portanto,

X + Y X * = ( 21,695 ∠ - 20,02 ° )   ×   4 ∠ - 40 °

Agora, basta multiplicar os módulos e somar os ângulos:

X + Y X * = 86,78 ∠ - 60,02 °

Passo 5

Na letra ( b ) , temos:

X - Y * = 3,064 + j 2,571 - 17,32 - j 10 *

X - Y * = - 14,256 + j 12,571 *

Para encontrarmos o conjugado na forma retangular basta inverter o sinal da parte imaginária:

X - Y * = - 14,256 - j 12,571

Quando a parte real do número complexo é negativa, é melhor colocarmos o sinal de menos em evidência e passarmos o que está dentro dos parênteses para forma polar.

X - Y * = - ( 14,256 + j 12,571 )

Então, vamos passar 14,256 + j 12,571 para forma polar.

14,256 + j 12,571 →     r = 14,256 2 + 12,571 2 = 19   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ 12,571 14,256 = 41,4 °

Logo, lembrando do sinal de menos:

X - Y * = - 19 ∠ 41,4 °

Para deixarmos o módulo do fasor positivo podemos somar ou subtrair 180 ° . Nesse caso, vamos subtrair 180 ° . Portanto,

X - Y * = 19 ∠ 41,4 ° - 180 °

X - Y * = 19 ∠ - 138,6 °

Passo 6

Na letra ( c ) , temos:

X + Y X = 3,064 + j 2,571 + 17,32 - j 10 4 ∠ 40 °  

X + Y X = 20,384 - j 7,429 4 ∠ 40 °  

Agora, precisamos passar ( 20,384 + j 12,571 ) para forma polar antes efetuar a multiplicação.

20,384 - j 7,429     →     r = 20,384 2 + 7,429 2 = 21,695   ;     ϕ = tan - 1 ⁡ - 7,429 20,384 = - 20,02 °

Portanto,

X + Y X = 21,695 - 20,02 ° 4 ∠ 40 °  

Agora, basta dividir os módulos e subtrair os ângulos:

X + Y X = 5,42 ∠ - 60,02 °

Resposta

a   X + Y X * = 86,78 ∠ - 60,02 °

b   X - Y * = 19 ∠ - 138,6 °

c   X + Y / X   = 5,42 ∠ - 60,02 °

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