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Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

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Exercício 12123456789101113

Enunciado

USP – Mecânica dos fluidos – 2019.2 – P1. 2b

Dado o campo de velocidades de um escoamento:

V → = a x y 2 t   i → + b y 3 t   j → + c x y 3   k →

Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:

(c) Qual o vetor aceleração no ponto P1 e t1?

Passo 1

Sabe-se que a aceleração é dada pela derivada substantiva da velocidade, ou seja:

a → = D V → D t = ∂ V → ∂ t + V → ⋅ ∇ → V →

Abrindo os termos, temos:

a → = ∂ V x ∂ t + V x ∂ V x ∂ x + V y ∂ V x ∂ y + V z ∂ V x ∂ z i → + ∂ V y ∂ t + V x ∂ V y ∂ x + V y ∂ V y ∂ y + V z ∂ V y ∂ z j → + ∂ V z ∂ t + V x ∂ V z ∂ x + V y ∂ V z ∂ y + V z ∂ V z ∂ z k →

Tcharaaaammmm, agora, o que a gente vai precisar fazer? Literalmente abrir essas derivadas com o campo de velocidade que foi dado pra gente no enunciado.

Passo 2

a → = a x y 2 + a x y 2 t × a y 2 t + b y 3 t × 2 a x y t + c x y 3 0 i → +

+ b y 3 + a x y 2 t   0 + b y 3 t × 3 b y 2 t + c x y 3 0 j → +

+ 0 + a x y 2 t × c y 3 + b y 3 t   3 c x y 2 + c x y 3 ( 0 ) k →

Portanto,

a → = a x y 2 + a 2 x y 4 t 2 + 2 a b x y 4 t 2 i → + b y 3 + 3 b 2 y 5 t 2 j → + a c x y 5 t + 3 b c x y 5 t k →

Substituindo tal que já foi dado no enunciado o ponto desejado igual a P(1,2,3) e t1 = 2s, temos:

a → = 1.1 . 2 2 + 1 2 . 1.2 4 . 2 2 - 2.1 . 1 3 . 1.2 4 . 2 2 i → + - 1 3 . 2 3 + 3 - 1 3 2 . 2 5 . 2 2 j → + 1.1 . 1.2 5 . 2 - 3 1 3 . 1.1 . 2 5 . 2 k →

a → = 76 3 i → + 40 j →

Resposta

a → = 76 3 i → + 40 j →

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