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Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

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Exercício 12345678910111213

Enunciado

A Equação de Torricelli é dada por:

V ² = V 0 2 + 2 a ∆ S

Encontre a sua forma adimensional.

Passo 1

Então, primeiro exemplo bem simples mas que mostra muito da mecânica que vamos utilizar.

Podemos dizer que esta função é representada por:

V = f ( V 0 , a , ∆ S )

Temos quatro variáveis, com as dimensões:

V = L T - 1

V 0 = L T - 1

a = L T - 2

∆ S = L

Logo temos duas dimensões L e T . Portanto temos pelo menos dois grupos pi.

Passo 2

Vamos aplicar o que aprendemos na teoria anterior:

V 0 a ∆ S b V = L 0 T 0

L T - 1 a L b L T - 1 = L 0 T 0

Logo temos o seguinte sisteminha:

a + b + 1 = 0 - a - 1 = 0

Logo a = - 1 e b = 0

Chegamos ao primeiro Pi que vamos chamar de V *

V * = V V 0

O segundo, aplicando o mesmo raciocínio para a :

V 0 a ∆ S b a = L 0 T 0

L T - 1 a L b L T - 2 = L 0 T 0

a + b + 1 = 0 - a - 2 = 0

a = - 2 ,   b = 1

Logo o segundo adimensional é:

a * = ∆ S V 0 2 a

Passo 3

Portanto para adimensionalizarmos nossa equação, vamos começar a substituir estes adimensionais da seguinte maneira:

V * = V V 0 é o mesmo que V = V * V 0 :

V * V 0 ² = V 0 2 + 2 a ∆ S

Logo ficamos com a equação:

V * 2 = V 0 2 V 0 2 + 2 a ∆ S V 0 2

V * 2 = 1 + 2 a ∆ S V 0 2

Repare que a * aparece também!

Olha só esse termo em parênteses:

V * 2 = 1 + 2 ∆ S V 0 2 a

Logo,

V * 2 = 1 + 2 a *

Que é nossa equação adimensionalizada.

Observação: esse método vale sempre, basta identificar as variáveis mais simples de se substituir nas equações, neste caso era V .

Resposta

V * 2 = 1 + 2 a *

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