USP – Mecânica dos fluidos – 2019.2 – P1. 2e
Dado o campo de velocidades de um escoamento:
Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:
(d) Obter três paramétricas da trajetória que passam por P2 (x2, y2, z2) = e instante
Passo 1
O que essa questão está pedindo é basicamente pra gente encontrar a função trajetória na direção x, y e z em função do tempo. E como iremos fazer isso? Bem, se a gente se lembrar que velocidade é variação de espaço no tempo, e, sabendo as componentes da velocidade...tcharammm.... se a gente integrar a velocidade no tempo, então teremos A POSIÇÃO! E é isso que vamos fazer!
Então vem comigo que vamos meter brasa nesse rolê!
Lembrando que:
Passo 2
Do enunciado que , então podemos fazer aqui uma separação de variáveis já!!
b = -1/3, logo:
Integrando, vamos ter:
Note que podemos escrever a primeira integral da seguinte maneira:
Logo, temos ao final:
Essa constante apareceu, pois, fizemos uma integração sem intervalo numérico determinado, ok?
Simplificando essa equação, ou seja, dividindo-a por 2, temos:
O ponto e o tempo foram dados no enunciado como sendo: P2 (x2, y2, z2) = e instante . Agora, basta substituirmos pra gente calcular essa constante aí!!!
Logo, temos que nossa equação final ficará:
Passo 3
De forma análoga, vamos fazer o mesmo para componente
Do enunciado que , então podemos fazer aqui uma separação de variáveis já!! Lembrando que a = 1.
Aí beleza, você deve tá se perguntando...mas wtf que apareceu um ali nessa integração, o que eu faço? Meu pequeno gafanhoto, a gente já encontrou como descrever y em função de t no passo 2, se lembra? , então basta substituirmos!!
O ponto e o tempo foram dados no enunciado como sendo: P2 (x2, y2, z2) = e instante . Agora, basta substituirmos pra gente calcular essa constante aí!!!
Logo, temos que:
Agora, se colocarmos uma exponencial nisso aí, vamos ter:
Passo 4
De forma análoga, vamos fazer o mesmo para componente
Do enunciado que , então podemos fazer aqui uma separação de variáveis já!! Lembrando que c = 1.
Substituindo e , temos:
Vamos substituir!!!
Integrando, vamos ter:
Vamos utilizar o ponto P2 e t2 para encontrar C:
Assim, temos: