Exercícios Resolvidos de Equações Adimensionalizadas

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Enunciado

Dado o campo de velocidades de um escoamento:

V → = a x y 2 t   i → + b y 3 t   j → + c x y 3   k →

Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:

(d) Obter três paramétricas da trajetória que passam por P2 (x2, y2, z2) = P 2 ( 1 m ;   3 m ; 0 m ) e instante t 2 = 1 s

Passo 1

O que essa questão está pedindo é basicamente pra gente encontrar a função trajetória na direção x, y e z em função do tempo. E como iremos fazer isso? Bem, se a gente se lembrar que velocidade é variação de espaço no tempo, e, sabendo as componentes da velocidade...tcharammm.... se a gente integrar a velocidade no tempo, então teremos A POSIÇÃO! E é isso que vamos fazer!

Então vem comigo que vamos meter brasa nesse rolê!

Lembrando que:

v y = d y d t ,       v x = d x d t ,         v z = d z d t

Passo 2

Do enunciado que v y = b y 3 t , então podemos fazer aqui uma separação de variáveis já!!

b y 3 t = d y d t

d y b y 3 = t d t

b = -1/3, logo:

- 3 d y y 3 = t d t

Integrando, vamos ter:

∫ d y y 3 = - 1 3 ∫ t d t

Note que podemos escrever a primeira integral da seguinte maneira:

∫ y - 3 d y = - 1 2 y 2

Logo, temos ao final:

- 1 2 y 2 = - 1 6 t 2 + C

Essa constante apareceu, pois, fizemos uma integração sem intervalo numérico determinado, ok?

Simplificando essa equação, ou seja, dividindo-a por 2, temos:

- 1 y 2 = - t 2 3 + C 2

O ponto e o tempo foram dados no enunciado como sendo: P2 (x2, y2, z2) = P 2 ( 1 m ;   3 m ; 0 m ) e instante t 2 = 1 s . Agora, basta substituirmos pra gente calcular essa constante aí!!!

- 1 3 + 1 3 = C 2 = 0

Logo, temos que nossa equação final ficará:

1 y 2 = t 2 3 → y 2 = 3 t 2

Passo 3

De forma análoga, vamos fazer o mesmo para componente v x

Do enunciado que v x = a x y 2 t , então podemos fazer aqui uma separação de variáveis já!! Lembrando que a = 1.

v x = d x d t

1 x y 2 t = d x d t

d x x = y 2 t   d t

Aí beleza, você deve tá se perguntando...mas wtf que apareceu um y 2 ali nessa integração, o que eu faço? Meu pequeno gafanhoto, a gente já encontrou como descrever y em função de t no passo 2, se lembra? y 2 = 3 / t 2 , então basta substituirmos!!

d x x = 3 t 2 t d t

∫ d x x = ∫ 3 t   d t

ln ⁡ x = 3 ln ⁡ t + l n ⁡ ( C )

O ponto e o tempo foram dados no enunciado como sendo: P2 (x2, y2, z2) = P 2 ( 1 m ;   3 m ; 0 m ) e instante t 2 = 1 s . Agora, basta substituirmos pra gente calcular essa constante aí!!!

ln ⁡ 1 = 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ C → C = 1

Logo, temos que:

ln ⁡ x = 3 ln ⁡ t + ln ⁡ 1 = 3 ln ⁡ t + 0

Agora, se colocarmos uma exponencial nisso aí, vamos ter:

x = t 3

Passo 4

De forma análoga, vamos fazer o mesmo para componente v z

Do enunciado que v z = c x y 3 , então podemos fazer aqui uma separação de variáveis já!! Lembrando que c = 1.

v z = d z d t

x y 3 = d z d t

Substituindo x e y , temos:

x = t 3

y 2 = 3 t 2

y = 3 t 2 = 1 t 3

Vamos substituir!!!

t 3   3 t 3 = d z d t

d z d t = 3 3 2

d z = 3 3 2 d t

Integrando, vamos ter:

z = 3 3 t + C = 3 3 t + C

Vamos utilizar o ponto P2 e t2 para encontrar C:

0 = 3 3 1 + C

C = - 3 3

Assim, temos:

z = 3 3 t - 3 3

z = 3 3 ( t - 1 )

Resposta

x = t 3

y = 1 t 3

z = 3 3 ( t - 1 )

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