Uma equação diferencial para modelar a dinâmica da reação química em um reator plug-flow, é a seguinte:
na qual é a velocidade, é um coeficiente de difusão, é a taxa de reação, é a distância ao longo do reator e é a concentração (adimensional) de um dado componente químico no reator. Determine as dimensões apropriadas de e . Usando um comprimento de escala característico e uma velocidade média como parâmetros, reescreva essa equação na forma adimensional e comente sobre quaisquer grupos pi que aparecerem.
Passo 1
Vamos determinar nossa função e variáveis para aplicar o teorema Pi
Vamos dizer as dimensões das variáveis mais conhecidas antes de determinar qual a dimensão de e :
Como temos uma equação, termo que se somam devem ter as mesmas dimensões para isso ser possível, vamos determinar então a dimensão da função olhando o lado esquerdo da expressão:
Logo todos termos tem essa mesma dimensão, logo:
E para :
Passo 2
Dados um comprimento característico e uma velocidade , vamos adimensionalizar a equação. Repare que só temos duas dimensões no problema, logo precisamos de duas variáveis repetitivas como o problema fornece.
Começaremos por
Logo o primeiro Pi é:
O segundo pi, de :
O terceiro, de :
O quarto, de :
E finalmente o quinto, de :
Passo 3
Substituindo na equação, começando pelas derivadas:
Substituindo :
Logo
Temos dois adimensionais e que são